Geometría del tetraedro: planos, rectas, áreas y volúmenes

**a) La ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $A, B$ y $C$, (1 punto) y las ecuaciones de la recta $h_O$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $O$. (2 puntos)** Para obtener la ecuación del plano $\pi$, necesitamos un punto (por ejemplo, $B(3, 0, 0)$) y dos vectores directores que pertenezcan al plano, como $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$: $$\vec{BA} = A - B = (1-3, 1-0, 1-0) = (-2, 1, 1)$$ $$\vec{BC} = C - B = (0-3, 3-0, 0-0) = (-3, 3, 0)$$ El vector normal al plano $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos: $$\vec{n}_\pi = \vec{BA} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ -3 & 3 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = (0 - 3)\vec{i} - (0 - (-3))\vec{j} + (-6 - (-3))\vec{k} = -3\vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k}$$ Podemos simplificar el vector normal tomando $\vec{n} = (1, 1, 1)$. La ecuación del plano será: $$1(x - 3) + 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \implies x + y + z - 3 = 0$$ 💡 **Tip:** Si el vector normal es $(-3, -3, -3)$, cualquier vector proporcional como $(1, 1, 1)$ también es normal al plano y simplifica los cálculos. ✅ **Resultado (Plano):** $$\boxed{\pi: x + y + z - 3 = 0}$$

La recta $h_O$ es perpendicular a $\pi$, por lo que su vector director $\vec{v}_h$ es el vector normal del plano: $$\vec{v}_h = \vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$$ Como la recta pasa por el origen $O(0, 0, 0)$, sus ecuaciones paramétricas son: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ O en forma continua: $$\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$$ ✅ **Resultado (Recta):** $$\boxed{h_O: \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases}}$$

**b) El punto de intersección de la altura $h_O$ y el plano $\pi$. (3 puntos)** Para hallar el punto de intersección $P$, sustituimos las expresiones de la recta $h_O$ en la ecuación del plano $\pi$: $$x + y + z - 3 = 0 \implies \lambda + \lambda + \lambda - 3 = 0$$ $$3\lambda = 3 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en las paramétricas de la recta: $$x = 1, \quad y = 1, \quad z = 1$$ Observamos que el punto de intersección es precisamente el vértice $A(1, 1, 1)$. 💡 **Tip:** La altura de un tetraedro desde un vértice es el segmento perpendicular desde dicho vértice al plano de la cara opuesta. ✅ **Resultado (Punto de intersección):** $$\boxed{P(1, 1, 1)}$$

**c) El área de la cara cuyos vértices son los puntos $A, B$ y $C$, (2 puntos) y el volumen del tetraedro $T$. (2 puntos)** El área de un triángulo de vértices $A, B$ y $C$ es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores de posición relativos: $$\text{Área}(ABC) = \frac{1}{2} |\vec{BA} \times \vec{BC}|$$ Ya habíamos calculado $\vec{BA} \times \vec{BC} = (-3, -3, -3)$. Calculamos su módulo: $$|(-3, -3, -3)| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ Entonces el área es: $$\text{Área} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2,598 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ u}^2}$$

El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen $O$ y otros tres vértices $A, B, C$ se calcula como un sexto del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{OA}, \vec{OB}$ y $\vec{OC}$: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]| = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} \right|$$ Calculamos el determinante desarrollando por la segunda fila (que tiene dos ceros): $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} = -3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -3 \cdot (0 - 3) = 9$$ Por tanto, el volumen es: $$V = \frac{1}{6} |9| = \frac{9}{6} = 1,5 \text{ u}^3$$ 💡 **Tip:** También podrías usar la fórmula $V = \frac{1}{3} \text{Base} \cdot \text{Altura}$. Como la altura desde $O$ cae en $A$, la altura es la distancia $d(O, A) = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$. $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1,5$$ ✅ **Resultado (Volumen):** $$\boxed{V = 1,5 \text{ u}^3}$$