Potencias de matrices y propiedades de determinantes

**a) La comprobación de que $C^2 = 2C - I$, siendo $C = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \\ \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden $3 \times 3$, (2,5 puntos) y el cálculo de la matriz $C^4$. (2,5 puntos)** Primero calculamos $C^2$ multiplicando la matriz $C$ por sí misma: $$C^2 = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones fila por columna: - $c_{11} = 5(5) + (-4)(2) + 2(-4) = 25 - 8 - 8 = 9$ - $c_{12} = 5(-4) + (-4)(-1) + 2(4) = -20 + 4 + 8 = -8$ - $c_{13} = 5(2) + (-4)(1) + 2(-1) = 10 - 4 - 2 = 4$ - $c_{21} = 2(5) + (-1)(2) + 1(-4) = 10 - 2 - 4 = 4$ - $c_{22} = 2(-4) + (-1)(-1) + 1(4) = -8 + 1 + 4 = -3$ - $c_{23} = 2(2) + (-1)(1) + 1(-1) = 4 - 1 - 1 = 2$ - $c_{31} = -4(5) + 4(2) + (-1)(-4) = -20 + 8 + 4 = -8$ - $c_{32} = -4(-4) + 4(-1) + (-1)(4) = 16 - 4 - 4 = 8$ - $c_{33} = -4(2) + 4(1) + (-1)(-1) = -8 + 4 + 1 = -3$ Obtenemos: $$C^2 = \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $2C - I$: $$2C - I = 2 \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -8 & 4 \\ 4 & -2 & 2 \\ -8 & 8 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -8 & 4 \\ 4 & -3 & 2 \\ -8 & 8 & -3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Comprobación):** $$\boxed{C^2 = 2C - I}$$

Para calcular $C^4$, aprovechamos la relación demostrada anteriormente: $C^2 = 2C - I$. $$C^4 = (C^2)^2 = (2C - I)^2$$ Desarrollamos el binomio (teniendo en cuenta que $I$ conmuta con cualquier matriz): $$C^4 = (2C - I)(2C - I) = 4C^2 - 2CI - 2IC + I^2 = 4C^2 - 4C + I$$ Sustituimos de nuevo $C^2 = 2C - I$: $$C^4 = 4(2C - I) - 4C + I = 8C - 4I - 4C + I = 4C - 3I$$ Ahora calculamos el valor numérico: $$C^4 = 4 \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & -16 & 8 \\ 8 & -4 & 4 \\ -16 & 16 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** No es necesario calcular $C^2 \cdot C^2$ elemento a elemento si disponemos de una relación lineal. Reducir el grado de la potencia facilita enormemente los cálculos y evita errores. ✅ **Resultado (C⁴):** $$\boxed{C^4 = \begin{pmatrix} 17 & -16 & 8 \\ 8 & -7 & 4 \\ -16 & 16 & -7 \end{pmatrix}}$$

**b) El valor del determinante de la matriz $(3A^4)(4A^2)^{-1}$, sabiendo que $A$ es una matriz cuadrada de cuatro columnas cuyo determinante vale $-1$. (3 puntos)** Sea $n=4$ el orden de la matriz $A$. Aplicamos las propiedades de los determinantes paso a paso: 1. **Propiedad del producto:** $\det(M \cdot N) = \det(M) \cdot \det(N)$. $$\det((3A^4)(4A^2)^{-1}) = \det(3A^4) \cdot \det((4A^2)^{-1})$$ 2. **Propiedad de la inversa:** $\det(M^{-1}) = \frac{1}{\det(M)}$. $$\dots = \frac{\det(3A^4)}{\det(4A^2)}$$ 3. **Propiedad del escalar:** $\det(k \cdot M) = k^n \det(M)$, donde $n$ es el orden de la matriz. Aquí $n=4$, por lo que: $$\dots = \frac{3^4 \cdot \det(A^4)}{4^4 \cdot \det(A^2)}$$ 4. **Propiedad de la potencia:** $\det(A^k) = (\det(A))^k$. $$\dots = \frac{81 \cdot (\det(A))^4}{256 \cdot (\det(A))^2}$$ Sustituimos el valor dado $\det(A) = -1$: $$\dots = \frac{81 \cdot (-1)^4}{256 \cdot (-1)^2} = \frac{81 \cdot 1}{256 \cdot 1} = \frac{81}{256}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un número fuera de un determinante, este sale elevado al orden de la matriz ($k^n$). Es un error muy común olvidarlo. ✅ **Resultado (Determinante):** $$\boxed{\text{det}((3A^4)(4A^2)^{-1}) = \dfrac{81}{256}}$$

**c) La matriz $B$ que admite inversa y que verifica la igualdad $BB = B$. (2 puntos)** Se nos indica que la matriz $B$ admite inversa, lo cual implica que existe $B^{-1}$ tal que $B \cdot B^{-1} = B^{-1} \cdot B = I$. Partimos de la igualdad: $$B \cdot B = B$$ Multiplicamos ambos miembros por $B^{-1}$ por la derecha (o por la izquierda): $$(B \cdot B) \cdot B^{-1} = B \cdot B^{-1}$$ Usamos la propiedad asociativa: $$B \cdot (B \cdot B^{-1}) = I$$ Como $B \cdot B^{-1} = I$, obtenemos: $$B \cdot I = I$$ $$B = I$$ 💡 **Tip:** Si una matriz es idempotente ($B^2 = B$) y no es la identidad, entonces su determinante es 0 y no tiene inversa (excepto el caso trivial $I$). ✅ **Resultado (Matriz B):** $$\boxed{B = I \text{ (Matriz identidad)}}$$