Análisis 2017 Valencia
Optimización del coste de instalación de cables
Problema A.3. Se desea unir un punto $M$ situado en un lado de una calle, de 6 m. de anchura, con el punto $N$ situado en el otro lado de la calle, 18 m. más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde $M$ hasta un punto $P$, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto $P$ hasta el punto $N$. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que $M = (0, 6)$, $P = (x, 0)$ y $N = (18, 0)$. El cable $MP$ tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de 10 €/m. El precio del cable $PN$ es de 5 €/m. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El costo total $C$ de los dos cables en función de la abscisa $x$ del punto $P$, cuando $0 \leq x \leq 18$. (3 puntos)
b) El valor de $x$, con $0 \leq x \leq 18$, para el que el costo total $C$ es mínimo. (4 puntos)
c) El valor de dicho costo total mínimo. (3 puntos)
Paso 1
Modelización del problema y cálculo de distancias
**a) El costo total $C$ de los dos cables en función de la abscisa $x$ del punto $P$, cuando $0 \leq x \leq 18$. (3 puntos)**
Primero, definimos las distancias de los dos tramos de cable utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano:
$$d(A, B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$
1. **Tramo $MP$:** Unimos $M(0, 6)$ con $P(x, 0)$.
$$L_{MP} = \sqrt{(x-0)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{x^2 + 36}$$
2. **Tramo $PN$:** Unimos $P(x, 0)$ con $N(18, 0)$.
$$L_{PN} = \sqrt{(18-x)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(18-x)^2}$$
Dado que el enunciado restringe $0 \leq x \leq 18$, la expresión $(18-x)$ siempre es positiva o cero, por lo que:
$$L_{PN} = 18 - x$$
Paso 2
Construcción de la función de coste
El costo total $C(x)$ es la suma de los costes de cada tramo multiplicados por su precio por metro:
- Precio $MP = 10$ €/m
- Precio $PN = 5$ €/m
$$C(x) = 10 \cdot L_{MP} + 5 \cdot L_{PN}$$
Sustituyendo las expresiones halladas:
$$C(x) = 10\sqrt{x^2 + 36} + 5(18 - x)$$
💡 **Tip:** Recuerda que la variable $x$ representa la distancia horizontal desde el origen hasta el punto $P$ en el lado opuesto de la calle.
✅ **Resultado (Apartado a):**
$$\boxed{C(x) = 10\sqrt{x^2 + 36} + 90 - 5x, \quad 0 \leq x \leq 18}$$
Paso 3
Cálculo de la derivada para hallar el mínimo
**b) El valor de $x$, con $0 \leq x \leq 18$, para el que el costo total $C$ es mínimo. (4 puntos)**
Para minimizar el coste, derivamos $C(x)$ respecto a $x$:
$$C'(x) = 10 \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 36}) + \frac{d}{dx}(90 - 5x)$$
Aplicamos la regla de la cadena para la raíz:
$$C'(x) = 10 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 36}} - 5 = \frac{10x}{\sqrt{x^2 + 36}} - 5$$
Buscamos los puntos críticos haciendo $C'(x) = 0$:
$$\frac{10x}{\sqrt{x^2 + 36}} = 5 \implies 10x = 5\sqrt{x^2 + 36} \implies 2x = \sqrt{x^2 + 36}$$
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
$$(2x)^2 = (\sqrt{x^2 + 36})^2 \implies 4x^2 = x^2 + 36$$
$$3x^2 = 36 \implies x^2 = 12 \implies x = \pm\sqrt{12}$$
Como $0 \leq x \leq 18$, tomamos la solución positiva:
$$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 \text{ m}$$
💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado pueden aparecer soluciones falsas. Comprueba siempre que la solución obtenida satisface la ecuación original (en este caso $2x = \sqrt{x^2+36}$ es positivo = positivo, correcto).
Paso 4
Justificación del mínimo
Estudiamos el signo de $C'(x)$ en el intervalo $[0, 18]$ para confirmar que en $x = 2\sqrt{3}$ hay un mínimo relativo.
Evaluamos en puntos de prueba:
- Para $x = 0$: $C'(0) = \frac{0}{6} - 5 = -5 \lt 0$ (La función decrece).
- Para $x = 10$: $C'(10) = \frac{100}{\sqrt{136}} - 5 \approx \frac{100}{11.66} - 5 \approx 8.57 - 5 = 3.57 \gt 0$ (La función crece).
$$\begin{array}{c|ccc}
x & [0, 2\sqrt{3}) & 2\sqrt{3} & (2\sqrt{3}, 18] \\\hline
C'(x) & - & 0 & + \\\hline
C(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow
\end{array}$$
Al decrecer antes y crecer después, confirmamos que se trata de un mínimo absoluto en el intervalo.
✅ **Resultado (Apartado b):**
$$\boxed{x = 2\sqrt{3} \approx 3.464 \text{ m}}$$
Paso 5
Cálculo del costo mínimo
**c) El valor de dicho costo total mínimo. (3 puntos)**
Sustituimos el valor $x = 2\sqrt{3}$ en la función de coste $C(x)$:
$$C(2\sqrt{3}) = 10\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 36} + 90 - 5(2\sqrt{3})$$
$$C(2\sqrt{3}) = 10\sqrt{12 + 36} + 90 - 10\sqrt{3}$$
$$C(2\sqrt{3}) = 10\sqrt{48} + 90 - 10\sqrt{3}$$
Simplificamos $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$:
$$C(2\sqrt{3}) = 10(4\sqrt{3}) + 90 - 10\sqrt{3}$$
$$C(2\sqrt{3}) = 40\sqrt{3} + 90 - 10\sqrt{3} = 30\sqrt{3} + 90$$
Calculamos el valor numérico aproximado:
$$C \approx 30 \cdot 1.732 + 90 = 51.96 + 90 = 141.96 \text{ €}$$
✅ **Resultado (Apartado c):**
$$\boxed{C = 30\sqrt{3} + 90 \approx 141.96 \text{ €}}$$