Geometría en el espacio: Rectas, planos, distancias e intersecciones

Para trabajar con la recta $r$, es conveniente obtener un punto $R$ y su vector director $\vec{v}_r$ a partir de sus ecuaciones implícitas: $$r : \begin{cases} x + y - z + 1 = 0 & (1) \\ x + 2y - z - 1 = 0 & (2) \end{cases}$$ Restamos la ecuación (1) a la (2): $$(x + 2y - z - 1) - (x + y - z + 1) = 0 \implies y - 2 = 0 \implies y = 2$$ Sustituimos $y = 2$ en la ecuación (1) para despejar $x$ en función de $z$: $$x + 2 - z + 1 = 0 \implies x - z + 3 = 0 \implies x = z - 3$$ Si llamamos $z = \lambda$, obtenemos las ecuaciones paramétricas: $$r : \begin{cases} x = -3 + \lambda \\ y = 2 \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de la recta: $R(-3, 2, 0)$ - El vector director: $\vec{v}_r = (1, 0, 1)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, también puedes resolver el sistema considerando una de las variables como parámetro.

**a) El plano que contiene al punto $P$ y a la recta $r$. (2 puntos)** Un plano $\alpha$ queda determinado por un punto y dos vectores directores no colineales. En este caso: 1. El punto será $P(1, 1, 1)$. 2. El primer vector será el de la recta $r$: $\vec{u} = \vec{v}_r = (1, 0, 1)$. 3. El segundo vector será el que une el punto $P$ con el punto $R$ de la recta: $\vec{v} = \vec{PR} = R - P = (-3 - 1, 2 - 1, 0 - 1) = (-4, 1, -1)$. Calculamos el vector normal $\vec{n}_\alpha$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_\alpha = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -4 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n}_\alpha = \mathbf{i}(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot (-4)) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-4))$$ $$\vec{n}_\alpha = -1\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1, -3, 1)$$ La ecuación del plano es $-1(x - 1) - 3(y - 1) + 1(z - 1) = 0$: $$-x + 1 - 3y + 3 + z - 1 = 0 \implies -x - 3y + z + 3 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 3y - z - 3 = 0}$$

**b) La recta $s$ que pasa por el punto $P$ y es perpendicular al plano $\pi$, la distancia del punto $P$ al plano $\pi$ y el punto de intersección de la recta $s$ con el plano $\pi$. (2+2+2 puntos)** El plano es $\pi: x + y + z = 1$, por lo que su vector normal es $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. Si la recta $s$ es perpendicular al plano, su vector director $\vec{v}_s$ debe ser paralelo al vector normal del plano: $$\vec{v}_s = \vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$$ Como $s$ pasa por $P(1, 1, 1)$, su ecuación paramétrica es: $$s : \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 1 + \mu \\ z = 1 + \mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado (recta s):** $$\boxed{s : (x, y, z) = (1, 1, 1) + \mu(1, 1, 1)}$$

Para hallar el punto de intersección $M = s \cap \pi$, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta $s$ en la ecuación del plano $\pi$: $$(1 + \mu) + (1 + \mu) + (1 + \mu) = 1$$ $$3 + 3\mu = 1 \implies 3\mu = -2 \implies \mu = -\frac{2}{3}$$ Calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\mu$ en la recta: $$x = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}; \quad y = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}; \quad z = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$ ✅ **Resultado (punto de intersección):** $$\boxed{M\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)}$$

La distancia del punto $P(1, 1, 1)$ al plano $\pi: x + y + z - 1 = 0$ se calcula con la fórmula: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituyendo los valores: $$d(P, \pi) = \frac{|1(1) + 1(1) + 1(1) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(P, \pi) = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 💡 **Tip:** También podrías haber calculado la distancia como el módulo del vector $\vec{PM}$, siendo $M$ el punto hallado en el paso anterior. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(P, \pi) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ unidades}}$$

**c) El plano $\sigma$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$. (2 puntos)** Para que $\sigma$ contenga a $r$, uno de sus vectores directores debe ser $\vec{v}_r = (1, 0, 1)$. Para que $\sigma$ sea perpendicular a $\pi$, su otro vector director debe ser el normal de $\pi$: $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$. Como punto, usaremos $R(-3, 2, 0)$, que pertenece a $r$. Calculamos el vector normal $\vec{n}_\sigma$: $$\vec{n}_\sigma = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\sigma = \mathbf{i}(0-1) - \mathbf{j}(1-1) + \mathbf{k}(1-0) = (-1, 0, 1)$$ La ecuación del plano es $-1(x - (-3)) + 0(y - 2) + 1(z - 0) = 0$: $$-x - 3 + z = 0 \implies x - z + 3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - z + 3 = 0}$$