Sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a) La solución del sistema cuando $a = 2$. (3 puntos)** Sustituimos el valor $a = 2$ en las ecuaciones del sistema: $$\begin{cases} -x + 2y + 2z = 2 \\ 2x + 2y - z = 2 \\ 2x - y + 2z = 2 \end{cases}$$ Para resolverlo, utilizaremos la **Regla de Cramer**. Primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = [(-1)(2)(2) + (2)(-1)(2) + (2)(2)(-1)] - [(2)(2)(2) + (-1)(-1)(-1) + (2)(2)(2)]$$ $$|A| = [-4 - 4 - 4] - [8 - 1 + 8] = -12 - 15 = -27$$ Como $|A| \neq 0$, el sistema tiene solución única (Compatible Determinado).

Calculamos los determinantes auxiliares $|A_x|$, $|A_y|$ y $|A_z|$ sustituyendo la columna de términos independientes $(2, 2, 2)^t$ en cada columna correspondiente: $$|A_x| = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (8 - 4 - 4) - (8 + 2 + 8) = 0 - 18 = -18$$ $$|A_y| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (-4 - 4 + 8) - (8 + 2 + 8) = 0 - 18 = -18$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (-4 + 8 - 4) - (8 + 2 + 8) = 0 - 18 = -18$$ Calculamos las incógnitas: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-18}{-27} = \frac{2}{3}; \quad y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-18}{-27} = \frac{2}{3}; \quad z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-18}{-27} = \frac{2}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{2}{3}, \quad y = \frac{2}{3}, \quad z = \frac{2}{3}}$$

**b) Los valores del parámetro $a$ para los que el sistema es compatible y determinado. (3 puntos)** Para discutir el sistema según el parámetro $a$, analizamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & a & 2 \\ 2 & a & -1 \\ a & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos $|A|$ por Sarrus: $$|A| = [(-1)(a)(2) + (a)(-1)(a) + (2)(2)(-1)] - [(a)(a)(2) + (-1)(-1)(-1) + (a)(2)(2)]$$ $$|A| = (-2a - a^2 - 4) - (2a^2 - 1 + 4a)$$ $$|A| = -a^2 - 2a - 4 - 2a^2 + 1 - 4a = -3a^2 - 6a - 3$$ Factorizamos la expresión: $$-3(a^2 + 2a + 1) = -3(a+1)^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-3(a+1)^2 = 0 \implies a + 1 = 0 \implies a = -1$$ 💡 **Tip:** Un sistema es Compatible Determinado (SCD) si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius**: 1. **Si $a \neq -1$**: El determinante $|A| \neq 0$, por lo que el rango de la matriz de coeficientes es $Rg(A) = 3$. Dado que el rango de la matriz ampliada $A|B$ no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$, $Rg(A|B) = 3$. Como $Rg(A) = Rg(A|B) = 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El sistema es Compatible Determinado para } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

**c) El valor del parámetro $a$ para el que el sistema es compatible e indeterminado y obtener todas las soluciones del sistema para ese valor de $a$. (2+2 puntos)** Si **$a = -1$**, ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $Rg(A) < 3$. Analizamos la matriz ampliada: $$(A|B) = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 2 & -1 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas ($F_1 = F_3$), por lo que podemos prescindir de una de ellas. El rango de $A$ es 2 ya que el menor $\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 + 2 = 3 \neq 0$. Como $F_1 = F_3$ también en la matriz ampliada, $Rg(A|B) = 2$. Como **$Rg(A) = Rg(A|B) = 2 < 3$** (incógnitas), según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = -1}$$

Para $a = -1$, el sistema se reduce a dos ecuaciones (eliminando la tercera por ser redundante): $$\begin{cases} -x - y + 2z = -1 \\ 2x - y - z = 2 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro libre (donde $\lambda \in \mathbb{R}$): $$\begin{cases} -x - y = -1 - 2\lambda \\ 2x - y = 2 + \lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = 1 + 2\lambda \\ 2x - y = 2 + \lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $y$: $$(x + y) + (2x - y) = (1 + 2\lambda) + (2 + \lambda) \implies 3x = 3 + 3\lambda \implies x = 1 + \lambda$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$(1 + \lambda) + y = 1 + 2\lambda \implies y = \lambda$$ ✅ **Resultado (soluciones):** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$