Optimización del área de un triángulo

**a) El área del triángulo $T$ en función de $x$. (3 puntos)** Primero, analizamos la posición de los vértices: - $O(0,0)$ es el origen. - $B(0,y)$ está en el eje $Y$ (eje de ordenadas). - $A(x,y)$ tiene la misma ordenada que $B$, por lo que el segmento $AB$ es horizontal. Esto implica que el triángulo es rectángulo en el vértice $B$, ya que el segmento $OB$ es vertical y el segmento $AB$ es horizontal. Calculamos las longitudes de los lados implicados en la restricción: - Longitud de $AB$: Como $A=(x,y)$ y $B=(0,y)$, la distancia es $d(A,B) = \sqrt{(x-0)^2 + (y-y)^2} = \sqrt{x^2} = x$ (ya que $x > 0$). - Longitud de $OA$: Es la distancia del origen a $(x,y)$, $d(O,A) = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$. El enunciado nos dice que $OA + AB = 30$: $$\sqrt{x^2 + y^2} + x = 30$$ 💡 **Tip:** En geometría analítica, la distancia entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Para expresar el área solo en función de $x$, debemos despejar $y$ de la ecuación de restricción: $$\sqrt{x^2 + y^2} = 30 - x$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado: $$x^2 + y^2 = (30 - x)^2$$ $$x^2 + y^2 = 900 - 60x + x^2$$ Cancelamos $x^2$ en ambos lados: $$y^2 = 900 - 60x$$ Como $y > 0$, tomamos la raíz positiva: $$y = \sqrt{900 - 60x}$$ **Restricciones de $x$:** Para que $y$ exista y sea positivo: 1. $900 - 60x \gt 0 \implies 60x \lt 900 \implies x \lt 15$. 2. El enunciado indica $x \gt 0$. Por tanto, el dominio de nuestra función será $D = (0, 15)$.

El área de un triángulo rectángulo es $\frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$. En nuestro caso: - Base: $AB = x$ - Altura: $OB = y$ (longitud desde $(0,0)$ a $(0,y)$) $$A(x) = \frac{x \cdot y}{2} = \frac{x \sqrt{900 - 60x}}{2}$$ Podemos simplificar extrayendo factor común $60$ dentro de la raíz si se desea, pero la expresión anterior ya responde al apartado. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{A(x) = \frac{x \sqrt{900 - 60x}}{2}}$$

**b) El valor de $x$ para el que dicha área es máxima. (5 puntos)** Para maximizar $A(x)$, derivamos respecto a $x$. Es más sencillo introducir la $x$ dentro de la raíz: $$A(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^2(900 - 60x)} = \frac{1}{2} \sqrt{900x^2 - 60x^3}$$ Derivamos usando la regla de la cadena: $$A'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{900x^2 - 60x^3}} \cdot (1800x - 180x^2)$$ $$A'(x) = \frac{1800x - 180x^2}{4\sqrt{900x^2 - 60x^3}}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$1800x - 180x^2 = 0 \implies 180x(10 - x) = 0$$ Como $x \gt 0$, la única solución válida en nuestro dominio es: $$\boxed{x = 10}$$ 💡 **Tip:** Para maximizar una función radical $\sqrt{f(x)}$, basta con maximizar lo que hay dentro del radicando $f(x)$, siempre que $f(x) \ge 0$.

Estudiamos el signo de $A'(x)$ alrededor de $x = 10$ dentro del dominio $(0, 15)$. El denominador de $A'(x)$ es siempre positivo en el dominio, por lo que el signo depende de $1800x - 180x^2$. $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 10) & 10 & (10, 15) \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \hline A(x) & \text{Creciente (\nearrow)} & \text{Máximo} & \text{Decreciente (\searrow)} \end{array} $$ - Si $x \in (0, 10)$, $A'(x) \gt 0$ (por ejemplo, en $x=1$, $1800-180 \gt 0$). - Si $x \in (10, 15)$, $A'(x) \lt 0$ (por ejemplo, en $x=11$, $180 \cdot 11 \cdot (10 - 11) \lt 0$). Al pasar de crecer a decrecer, en $x = 10$ hay un **máximo relativo** que, al ser el único en el intervalo, es el máximo absoluto. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{x = 10 \text{ metros}}$$

**c) El valor de dicha área máxima. (2 puntos)** Sustituimos $x = 10$ en la función área $A(x)$: $$A(10) = \frac{10 \sqrt{900 - 60(10)}}{2}$$ $$A(10) = 5 \sqrt{900 - 600} = 5 \sqrt{300}$$ $$A(10) = 5 \sqrt{100 \cdot 3} = 5 \cdot 10 \sqrt{3} = 50\sqrt{3}$$ Si aproximamos el valor: $$A(10) \approx 50 \cdot 1,732 = 86,60 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{\text{Área máxima} = 50\sqrt{3} \text{ m}^2}$$