Posición relativa, intersección y distancia entre recta y plano con parámetros

**a) El punto de intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$ cuando $a = -b = 1$. (2,5 puntos)** Sustituimos los valores de los parámetros: $a=1$ y $b=-1$. La recta $r$ y el plano $\pi$ quedan definidos como: $$r : \frac{x-1}{4} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1}$$ $$\pi : 2x - y - z = 0$$ Para hallar el punto de intersección, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas igualando a un parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} x = 1 + 4\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$2(1 + 4\lambda) - (\lambda) - (1 - \lambda) = 0$$ $$2 + 8\lambda - \lambda - 1 + \lambda = 0$$ $$1 + 8\lambda = 0 \implies 8\lambda = -1 \implies \lambda = -\frac{1}{8}$$ 💡 **Tip:** Para hallar la intersección de recta y plano, lo más sencillo es usar las ecuaciones paramétricas de la recta y sustituirlas en la ecuación implícita del plano. Ahora calculamos las coordenadas del punto $P$ sustituyendo $\lambda = -1/8$: - $x = 1 + 4\left(-\frac{1}{8}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ - $y = -\frac{1}{8}$ - $z = 1 - \left(-\frac{1}{8}\right) = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{8}, \frac{9}{8}\right)}$$

**b) La distancia entre la recta $r$ y el plano $\pi$ cuando $a = b = 4$. (2,5 puntos)** Primero, identificamos los elementos de la recta y del plano con $a=4$ y $b=4$: - Recta $r$: Pasa por $P_r(1, 0, 1)$ y tiene vector director $\vec{v}_r = (4, 4, -1)$. - Plano $\pi$: Tiene vector normal $\vec{n}_\pi = (2, -1, 4)$. Analizamos si la recta es paralela al plano calculando el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (4, 4, -1) \cdot (2, -1, 4) = 4(2) + 4(-1) + (-1)(4) = 8 - 4 - 4 = 0.$$ Como el producto escalar es cero, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Comprobamos si el punto $P_r(1, 0, 1)$ pertenece a $\pi$: $$2(1) - (0) + 4(1) = 6 \neq 0.$$ Como el punto no cumple la ecuación, la recta es **paralela** al plano y la distancia será constante. 💡 **Tip:** Si el vector director de la recta y el normal del plano son perpendiculares (producto escalar nulo), la recta no corta al plano en un único punto; o es paralela o está contenida.

La distancia de la recta $r$ al plano $\pi$ es igual a la distancia de cualquier punto de la recta (usaremos $P_r(1, 0, 1)$) al plano. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|2(1) - 1(0) + 4(1) + 0|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2}} = \frac{|2 + 4|}{\sqrt{4 + 1 + 16}} = \frac{6}{\sqrt{21}}$$ Racionalizamos el resultado: $$d(r, \pi) = \frac{6\sqrt{21}}{21} = \frac{2\sqrt{21}}{7}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{2\sqrt{21}}{7} \text{ unidades}}$$

**c) La posición relativa de la recta $r$ y del plano $\pi$ en función de los valores de los parámetros $a$ y $b$. (5 puntos)** Extraemos los elementos genéricos: - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (4, a, -1)$. - Vector normal de $\pi$: $\vec{n}_\pi = (2, -1, b)$. - Punto de $r$: $P_r(1, 0, 1)$. La posición relativa depende de si la recta y el plano son secantes o no. Esto lo determina el producto escalar $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (4, a, -1) \cdot (2, -1, b) = 8 - a - b$$ **Caso 1: $8 - a - b \neq 0 \implies a + b \neq 8$** Si el producto escalar es distinto de cero, el vector director de la recta no es perpendicular al normal del plano. Por tanto, la recta y el plano son **secantes** (se cortan en un único punto). **Caso 2: $8 - a - b = 0 \implies a + b = 8$** Si el producto escalar es cero, la recta es paralela o está contenida en el plano. Para distinguir estos casos, comprobamos si $P_r(1, 0, 1) \in \pi$: $$2(1) - (0) + b(1) = 2 + b$$

Continuamos analizando el **Caso 2 ($a + b = 8$)**: - **Subcaso 2.1: $2 + b = 0 \implies b = -2$** Si $b = -2$, entonces el punto $P_r$ pertenece al plano. Como ya sabíamos que $a+b=8$, si $b=-2$ entonces $a=10$. En este caso ($a=10, b=-2$), la recta está **contenida** en el plano. - **Subcaso 2.2: $2 + b \neq 0 \implies b \neq -2$** Si $b \neq -2$ (y se mantiene $a+b=8$, lo que implica $a \neq 10$), el punto $P_r$ no pertenece al plano. En este caso, la recta es **paralela** al plano. 💡 **Tip:** Resume siempre los resultados de una discusión de parámetros de forma clara al final. ✅ **Resumen de la posición relativa:** - Si **$a + b \neq 8$**: Recta y plano son **secantes**. - Si **$a = 10$ y $b = -2$**: La recta está **contenida** en el plano. - Si **$a + b = 8$ y $b \neq -2$**: Recta y plano son **paralelos**.