Invertibilidad y potencias cíclicas de matrices

**a) La justificación de que $A$ tiene matriz inversa y el cálculo de dicha inversa $A^{-1}$. (2+2 puntos)** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (0 \cdot 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 \cdot 1) + ((-1) \cdot 0 \cdot 0) - [(-1) \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot 0]$$ $$|A| = 0 - (-1) = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz $A$ es regular y, por lo tanto, **existe la matriz inversa $A^{-1}$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de una matriz es cero, la matriz se denomina singular y no posee inversa.

Para calcular $A^{-1}$ utilizaremos la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$$ Primero, calculamos los adjuntos de cada elemento de $A$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ La matriz adjunta es: $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Transponemos la matriz adjunta: $\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Finalmente, como $|A|=1$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$

**b) La justificación de que $A^4 = I$. (2 puntos)** Calculamos las potencias de $A$ de forma sucesiva. Primero calculamos $A^2$: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $A^4$ como el producto de $A^2$ por sí misma: $$A^4 = A^2 \cdot A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar matrices diagonales, solo hay que multiplicar los elementos de la diagonal principal. Aquí $A^2$ es diagonal, lo que simplifica mucho el cálculo de $A^4$. ✅ **Justificación final:** $$\boxed{A^4 = I}$$

**c) El cálculo de las matrices $A^7$, $A^{30}$ y $A^{100}$. (4 puntos)** Dado que $A^4 = I$, las potencias de la matriz $A$ son cíclicas de periodo 4. Para cualquier potencia $A^n$, podemos dividir $n$ entre 4 y el resto $r$ nos dará la potencia equivalente: $A^n = (A^4)^q \cdot A^r = I^q \cdot A^r = A^r$. **Para $A^7$:** Dividimos $7$ entre $4$: $7 = 4 \cdot 1 + 3$. El resto es $3$. $$A^7 = A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ **Para $A^{30}$:** Dividimos $30$ entre $4$: $30 = 4 \cdot 7 + 2$. El resto es $2$. $$A^{30} = A^2 = \boxed{\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$ **Para $A^{100}$:** Dividimos $100$ entre $4$: $100 = 4 \cdot 25 + 0$. El resto es $0$. $$A^{100} = A^0 = I = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$ ✅ **Resultado (potencia $A^7$):** $$\boxed{A^7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$