Estudio de función con parámetro, gráficas e integración

**a) Los puntos de corte de la curva $y = f(x)$ con los ejes de coordenadas y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$. (1+2 puntos)** Primero, calculamos los puntos de corte de $f(x) = x^3 - ax$ con los ejes: 1. **Corte con el eje OY:** Hacemos $x = 0$. $$f(0) = 0^3 - a(0) = 0 \implies (0,0)$$ 2. **Corte con el eje OX:** Hacemos $f(x) = 0$. $$x^3 - ax = 0 \implies x(x^2 - a) = 0$$ De aquí obtenemos las soluciones: - $x = 0$ - $x^2 = a \implies x = \pm\sqrt{a}$ (ya que $a > 0$) 💡 **Tip:** Recuerda que si $a \gt 0$, la ecuación $x^2 = a$ siempre tiene dos soluciones reales distintas. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{(0,0), (\sqrt{a}, 0) \text{ y } (-\sqrt{a}, 0)}$$

Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada de $f(x)$ e igualamos a cero: $$f'(x) = 3x^2 - a$$ $$3x^2 - a = 0 \implies x^2 = \frac{a}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{a}{3}}$$ Evaluamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos críticos: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -\sqrt{a/3}) & -\sqrt{a/3} & (-\sqrt{a/3}, \sqrt{a/3}) & \sqrt{a/3} & (\sqrt{a/3}, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -\sqrt{a/3}) \cup (\sqrt{a/3}, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. - En $(-\sqrt{a/3}, \sqrt{a/3})$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, -\sqrt{a/3}) \cup (\sqrt{a/3}, +\infty); \text{ Decreciente: } (-\sqrt{a/3}, \sqrt{a/3})}$$

**b) La gráfica de la función $f$ cuando $a = 9$. (3 puntos)** Si $a = 9$, la función es $f(x) = x^3 - 9x$. 1. **Puntos de corte:** $(0,0), (3,0), (-3,0)$. 2. **Puntos críticos:** $x = \pm\sqrt{9/3} = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.73$. - Máximo relativo en $x = -\sqrt{3}$: $f(-\sqrt{3}) = (-3)^{3/2} - 9(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \approx 10.39$. - Mínimo relativo en $x = \sqrt{3}$: $f(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = -6\sqrt{3} \approx -10.39$. 3. **Simetría:** $f(-x) = (-x)^3 - 9(-x) = -x^3 + 9x = -f(x)$. Es una función **impar** (simétrica respecto al origen). "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f_graph", "latex": "f(x) = x^3 - 9x", "color": "#2563eb" } ], "bounds": { "left": -5, "right": 5, "bottom": -12, "top": 12 } } }

**c) Calcular, en función del parámetro $a$, el área de la región acotada del primer cuadrante encerrada entre las curvas $y = x^3$ e $y = ax$, cuando $a > 1$. (2 puntos)** Primero buscamos los puntos de intersección en el primer cuadrante ($x \ge 0$): $$x^3 = ax \implies x^3 - ax = 0 \implies x(x^2 - a) = 0$$ Las soluciones son $x=0$ y $x=\sqrt{a}$ (descartamos $x=-\sqrt{a}$). En el intervalo $[0, \sqrt{a}]$, determinamos cuál curva está por encima. Probamos un valor intermedio o analizamos el signo de $f(x) = x^3 - ax$. Como $f'(0) = -a \lt 0$, la función $f(x)$ empieza decreciendo desde el origen, lo que significa que $x^3 - ax \lt 0 \implies ax \gt x^3$. La recta está por encima. El área es: $$A(a) = \int_{0}^{\sqrt{a}} (ax - x^3) \, dx$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A(a) = \left[ a \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{\sqrt{a}} = \left( a \frac{(\sqrt{a})^2}{2} - \frac{(\sqrt{a})^4}{4} \right) - (0)$$ $$A(a) = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2 - a^2}{4} = \frac{a^2}{4}$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A(a) = \dfrac{a^2}{4} \text{ u}^2}$$

**d) El valor del parámetro $a$ para el que el área obtenida en el apartado c) coincide con el área de la región acotada comprendida entre la curva $y = x^3$, el eje OX y las rectas $x = 0$ y $x = 2$. (2 puntos)** Primero calculamos el área de referencia $A_{ref}$: $$A_{ref} = \int_{0}^{2} x^3 \, dx$$ $$A_{ref} = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 \text{ u}^2$$ Ahora igualamos el área obtenida en el apartado c) a este valor: $$\frac{a^2}{4} = 4 \implies a^2 = 16$$ $$a = \pm 4$$ Dado que el enunciado especifica que $a \gt 0$ (y además el apartado c requiere $a \gt 1$): $$a = 4$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 4}$$