Intersección de recta y plano con parámetros

**a) Los valores de $m$ y $n$ para los que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto. (3 puntos)** Para estudiar la posición relativa entre la recta $r$ y el plano $\pi$, planteamos el sistema formado por las ecuaciones de ambos. La recta viene dada por la intersección de dos planos, por lo que el sistema tendrá tres ecuaciones con tres incógnitas: $$\begin{cases} x - 2y - 2z = 1 \\ x + 3y - z = 1 \\ 2x + y + mz = n \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & | & 1 \\ 1 & 3 & -1 & | & 1 \\ 2 & 1 & m & | & n \end{pmatrix}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, la posición relativa dependerá de los rangos de estas matrices: 1. Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es compatible determinado (punto de corte). 2. Si $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es incompatible (recta paralela al plano). 3. Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$, el sistema es compatible indeterminado (recta contenida en el plano). 💡 **Tip:** Analizar la intersección de una recta y un plano es equivalente a discutir un sistema de 3 ecuaciones lineales.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & m \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 3 \cdot m + (-2) \cdot (-1) \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 1] - [(-2) \cdot 3 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot m + 1 \cdot (-1) \cdot 1]$$ $$|A| = (3m + 4 - 2) - (-12 - 2m - 1)$$ $$|A| = 3m + 2 + 13 + 2m = 5m + 15$$ Para que la recta y el plano se corten en un **único punto**, el sistema debe ser compatible determinado, lo que requiere que $|A| \neq 0$: $$5m + 15 \neq 0 \implies 5m \neq -15 \implies m \neq -3$$ Si $m \neq -3$, el rango de $A$ es 3, independientemente del valor de $n$, por lo que el sistema siempre tendrá solución única. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{m \neq -3, \quad \forall n \in \mathbb{R}}$$

**b) Los valores de $m$ y $n$ para los que la recta $r$ y el plano $\pi$ no se cortan. (3,5 puntos)** Si $m = -3$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - (-2) = 5 \neq 0$, sabemos que $\text{rg}(A) = 2$. Ahora estudiamos el rango de la matriz ampliada $A^*$ para este caso: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 & n \end{pmatrix}$$ Tomamos un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$M = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & n \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$|M| = (3n - 4 + 1) - (6 + 1 - 2n) = 3n - 3 - 7 + 2n = 5n - 10$$ Para que la recta y el plano **no se corten**, el sistema debe ser **incompatible**, lo que ocurre cuando $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. Esto sucede si $|M| \neq 0$: $$5n - 10 \neq 0 \implies 5n \neq 10 \implies n \neq 2$$ 💡 **Tip:** Si el rango de la matriz de coeficientes es menor que el de la ampliada, los planos que definen la recta y el plano dado no tienen puntos comunes (paralelismo). ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{m = -3, \quad n \neq 2}$$

**c) Los valores de $m$ y $n$ para los que la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$. (3,5 puntos)** Para que la recta esté **contenida en el plano**, el sistema debe ser compatible indeterminado, lo que requiere que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2$. Ya hemos visto que si $m = -3$, $\text{rg}(A) = 2$. Para que $\text{rg}(A^*)$ también sea 2, todos los menores de orden 3 de $A^*$ deben ser cero. En el paso anterior calculamos: $$|M| = 5n - 10$$ Igualamos a cero para reducir el rango de la ampliada: $$5n - 10 = 0 \implies n = 2$$ En este caso, se cumple que las tres ecuaciones son dependientes y hay infinitos puntos comunes que forman la propia recta. ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{m = -3, \quad n = 2}$$