Propiedades de matrices, determinantes e inversibilidad

**a) La justificación de que la matriz $A$ es invertible (2 puntos) y el cálculo de la matriz $A^3$ en función de $A$ y de $I$. (2 puntos)** Para justificar que $A$ es invertible, partimos de la igualdad dada: $$A^2 = -A - I$$ Reordenamos la expresión para agrupar los términos con la matriz $A$ en un lado y la identidad en el otro: $$A^2 + A = -I$$ Factorizamos la matriz $A$ por la izquierda: $$A(A + I) = -I$$ Multiplicamos toda la ecuación por $-1$ para obtener la matriz identidad positiva a la derecha: $$A(-A - I) = I$$ Por la definición de matriz inversa, si para una matriz cuadrada $A$ existe otra matriz $C$ tal que $A \cdot C = I$, entonces $A$ es invertible y $A^{-1} = C$. En este caso, $C = -A - I$. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada $A$ es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero, o si existe una matriz $B$ tal que $AB = BA = I$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A es invertible porque } A(-A-I) = I, \text{ siendo } A^{-1} = -A-I}$$

Para calcular $A^3$ en función de $A$ e $I$, utilizamos de nuevo la relación $A^2 = -A - I$. Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por $A$: $$A^3 = A \cdot A^2 = A(-A - I) = -A^2 - A$$ Ahora, sustituimos de nuevo la expresión de $A^2$ que conocemos ($A^2 = -A - I$): $$A^3 = -(-A - I) - A$$ $$A^3 = A + I - A$$ $$A^3 = I$$ Aunque el enunciado pide el resultado en función de $A$ e $I$, la matriz $A$ desaparece en la simplificación final. 💡 **Tip:** Para calcular potencias elevadas, intenta expresar $A^n$ como $A \cdot A^{n-1}$ y sustituye las relaciones conocidas sucesivamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^3 = I}$$

**b) Los valores posibles del determinante de $B$. (3 puntos)** Partimos de la condición dada $2B^3 = B$. Aplicamos la función determinante a ambos lados de la igualdad: $$\det(2B^3) = \det(B)$$ Utilizamos las propiedades de los determinantes: 1. $\det(k \cdot M) = k^n \det(M)$, donde $n$ es el orden de la matriz. Como $B$ es de orden 3, $k=2$ sale como $2^3 = 8$. 2. $\det(M^k) = (\det(M))^k$. Sea $x = \det(B)$. Aplicando las propiedades: $$8(\det(B))^3 = \det(B) \implies 8x^3 = x$$ Resolvemos la ecuación resultante: $$8x^3 - x = 0$$ $$x(8x^2 - 1) = 0$$ Esto nos da dos posibilidades: 1. $x = 0$ 2. $8x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{8} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{8}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ 💡 **Tip:** No olvides que al sacar un escalar de un determinante, este debe elevarse al orden de la matriz. En este caso, $n=3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(B) \in \left\{ 0, \frac{\sqrt{2}}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{4} \right\}}$$

**c) El valor del determinante de la matriz $B^2$, sabiendo que la matriz $B$ tiene inversa. (3 puntos)** Si la matriz $B$ tiene inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($\det(B) \neq 0$). De los valores obtenidos en el apartado anterior, descartamos $x = 0$. Por tanto, los únicos valores posibles para $\det(B)$ son: $$\det(B) = \frac{\sqrt{2}}{4} \quad \text{o} \quad \det(B) = -\frac{\sqrt{2}}{4}$$ Queremos hallar $\det(B^2)$. Usando la propiedad del determinante de un producto: $$\det(B^2) = (\det(B))^2$$ Calculamos el cuadrado para cualquiera de los dos casos posibles: $$\det(B^2) = \left( \pm \frac{\sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{4^2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$. De aquí se deduce que $\det(B^2) = \det(B)^2$, lo cual elimina el signo del determinante original. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\det(B^2) = \frac{1}{8}}$$