Estudio completo de una función radical

**(I) El dominio, la continuidad y las asíntotas.** La función dada es $f(x) = (8 - x^2)^{1/3} = \sqrt[3]{8 - x^2}$. 1. **Dominio:** Al ser una raíz de índice impar (3), la función está definida para cualquier valor real del radicando. Como el radicando $8 - x^2$ es un polinomio de segundo grado, está definido para todo $x \in \mathbb{R}$. $$D_f = \mathbb{R}$$ 2. **Continuidad:** La función es la composición de una raíz cúbica (continua en todo su dominio) y un polinomio (continuo en $\mathbb{R}$). Por tanto, $f(x)$ es **continua en todo $\mathbb{R}$**. 3. **Simetría:** Observamos que $f(-x) = \sqrt[3]{8 - (-x)^2} = \sqrt[3]{8 - x^2} = f(x)$. La función es **par**, lo que significa que es simétrica respecto al eje $Y$. 💡 **Tip:** Las funciones con raíces de índice impar no presentan restricciones de signo en el radicando para el dominio, a diferencia de las raíces cuadradas o de índice par.

Buscamos las asíntotas de la función: - **Asíntotas Verticales (A.V.):** Como el dominio es $\mathbb{R}$ y la función es continua en todo su dominio, **no existen asíntotas verticales**. - **Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \sqrt[3]{8 - x^2} = \sqrt[3]{-\infty} = -\infty$$ Como el límite no es un valor finito, **no hay asíntotas horizontales**. - **Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Buscamos una recta de la forma $y = mx + n$. $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{8 - x^2}}{x} = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{8 - x^2}{x^3}} = \sqrt[3]{0} = 0$$ Al ser $m=0$, el comportamiento asintótico sería el de una horizontal (que ya vimos que no tiene), por lo que **no hay asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado (I):** $$\boxed{\text{Dom } f = \mathbb{R}; \text{ Continua en } \mathbb{R}; \text{ Sin asíntotas}}$$

**(II) La derivabilidad, los extremos relativos y la monotonía.** Primero, calculamos la derivada de $f(x) = (8 - x^2)^{1/3}$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{1}{3}(8 - x^2)^{-2/3} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{3\sqrt[3]{(8 - x^2)^2}}$$ **Estudio de la derivabilidad:** La expresión de la derivada existe siempre que el denominador no sea cero. El denominador es cero si: $$8 - x^2 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$$ En $x = 2\sqrt{2}$ y $x = -2\sqrt{2}$, la función es continua pero no derivable (la derivada tiende a $\pm \infty$, lo que indica **tangentes verticales**). 💡 **Tip:** En puntos donde la función es continua pero la derivada no existe y tiende a infinito, la gráfica presenta un pico o una recta tangente vertical.

Para hallar los puntos críticos, resolvemos $f'(x) = 0$: $$\frac{-2x}{3\sqrt[3]{(8 - x^2)^2}} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por $x=0$ y los puntos de no derivabilidad $x = \pm 2\sqrt{2}$. Notemos que el denominador $3\sqrt[3]{(8 - x^2)^2}$ siempre es positivo por estar elevado al cuadrado: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2\sqrt{2}) & -2\sqrt{2} & (-2\sqrt{2}, 0) & 0 & (0, 2\sqrt{2}) & 2\sqrt{2} & (2\sqrt{2}, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\ f(x) & \nearrow & \text{cont.} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{cont.} & \searrow \end{array}$$ - $f(x)$ es **creciente** en $(-\infty, 0)$. - $f(x)$ es **decreciente** en $(0, +\infty)$. **Extremo relativo:** En $x = 0$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. $$y = f(0) = \sqrt[3]{8 - 0^2} = 2 \implies \text{Máximo en } (0, 2)$$ ✅ **Resultado (II):** $$\boxed{\text{Derivable en } \mathbb{R} \setminus \{\pm 2\sqrt{2}\}; \text{ Máx relativo en } (0, 2)}$$

**(III) La curvatura y los puntos de inflexión.** Calculamos la segunda derivada a partir de $f'(x) = -\frac{2}{3}x(8-x^2)^{-2/3}$: $$f''(x) = -\frac{2}{3} \left[ 1 \cdot (8-x^2)^{-2/3} + x \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)(8-x^2)^{-5/3}(-2x) \right]$$ $$f''(x) = -\frac{2}{3} \left[ \frac{1}{(8-x^2)^{2/3}} + \frac{4x^2}{3(8-x^2)^{5/3}} \right]$$ Sacamos factor común denominador $3(8-x^2)^{5/3}$: $$f''(x) = -\frac{2}{3} \left[ \frac{3(8-x^2) + 4x^2}{3(8-x^2)^{5/3}} \right] = -\frac{2}{9} \frac{24 - 3x^2 + 4x^2}{(8-x^2)^{5/3}} = \frac{-2(x^2 + 24)}{9(8-x^2)^{5/3}}$$ **Puntos de inflexión:** - $f''(x) = 0 \implies -2(x^2 + 24) = 0$. No tiene solución real (siempre negativo). - Candidatos por no existencia de $f''(x)$: $x = \pm 2\sqrt{2}$. Signo de $f''(x)$ (el numerador es siempre negativo, el signo depende del denominador): - Si $x \in (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$, $8-x^2 > 0 \implies f''(x) = \frac{-}{+} = -$ (**Cóncava hacia abajo $\cap$**). - Si $|x| > 2\sqrt{2}$, $8-x^2 < 0 \implies f''(x) = \frac{-}{-} = +$ (**Cóncava hacia arriba $\cup$**). Existen cambios de curvatura en $x = \pm 2\sqrt{2}$. $$f(\pm 2\sqrt{2}) = \sqrt[3]{8 - 8} = 0$$ Los puntos de inflexión son $(-2\sqrt{2}, 0)$ y $(2\sqrt{2}, 0)$. ✅ **Resultado (III):** $$\boxed{\text{P.I. en } (\pm 2\sqrt{2}, 0); \text{ Cóncava } (\cap) \text{ en } (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})}$$

Para dibujar la gráfica, unimos todos los elementos: - Dominio $\mathbb{R}$, simetría par. - Pasa por $(0, 2)$ que es el máximo relativo. - Corta al eje $X$ en $(\pm 2\sqrt{2}, 0)$, que son puntos de inflexión y donde la tangente es vertical. - Crece hasta $x=0$ y decrece a partir de ahí. - Cambia de convexa a cóncava y de nuevo a convexa en los puntos de corte con el eje $X$.

A continuación se muestra la representación gráfica de la función $f(x) = (8-x^2)^{1/3}$ donde se pueden observar el máximo, los puntos de inflexión y las tangentes verticales.