Probabilidad de uso de piscinas por grupos de edad

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos según los grupos de edad y el uso de la piscina: - $M$: Habitantes con más de 65 años. $P(M) = 0.50$. - $J$: Habitantes con menos de 18 años. $P(J) = 0.10$. - $R$: El resto de los habitantes ($18 \le \text{edad} \le 65$). $P(R) = 1 - 0.50 - 0.10 = 0.40$. - $U$: Utiliza el complejo de piscinas local. - $\bar{U}$: No utiliza el complejo de piscinas local. Las probabilidades condicionadas dadas son: - $P(U|M) = 0.60$ - $P(U|J) = 0.80$ - $P(U|R) = 0.40$ Representamos la información en un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** En los árboles de probabilidad, la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.

**(I) Elegido al azar un habitante de la localidad, calcule la probabilidad de que utilice el complejo de piscinas local.** Para calcular la probabilidad de que un habitante utilice la piscina $P(U)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(U) = P(M) \cdot P(U|M) + P(J) \cdot P(U|J) + P(R) \cdot P(U|R)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(U) = (0.50 \cdot 0.60) + (0.10 \cdot 0.80) + (0.40 \cdot 0.40)$$ $$P(U) = 0.30 + 0.08 + 0.16 = 0.54$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(U) = 0.54}$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total se usa cuando un suceso (usar piscina) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (los distintos grupos de edad).

**(II) Elegido al azar un habitante de la localidad que no utiliza el complejo de piscinas local, halle la probabilidad que tenga más de 65 años.** Nos piden la probabilidad de que tenga más de 65 años condicionado a que no utiliza la piscina, es decir, $P(M | \bar{U})$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M | \bar{U}) = \frac{P(M \cap \bar{U})}{P(\bar{U})} = \frac{P(M) \cdot P(\bar{U} | M)}{P(\bar{U})}$$ Primero, calculamos $P(\bar{U})$ (la probabilidad de no usar la piscina) utilizando el suceso contrario: $$P(\bar{U}) = 1 - P(U) = 1 - 0.54 = 0.46$$ Ahora, calculamos el numerador $P(M \cap \bar{U})$: $$P(\bar{U} | M) = 1 - P(U | M) = 1 - 0.60 = 0.40$$ $$P(M \cap \bar{U}) = 0.50 \cdot 0.40 = 0.20$$ Finalmente, sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(M | \bar{U}) = \frac{0.20}{0.46} = \frac{20}{46} = \frac{10}{23} \approx 0.4348$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M | \bar{U}) = \frac{10}{23} \approx 0.4348}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para "invertir" la probabilidad condicionada; nos permite hallar la probabilidad de una causa dado un efecto observado.