Dependencia lineal y base en el espacio tridimensional

**(I) Calcula el valor de $k$ para que los vectores sean linealmente dependientes.** Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente dependientes si el determinante de la matriz formada por sus componentes es igual a cero. Esto indica que los vectores son coplanarios o proporcionales. Planteamos el determinante con los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ dispuestos por filas: $$\text{det}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 2 & -2 \\ 2k & -1 & k \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante aplicando la regla de Sarrus: $$\text{det} = [2 \cdot 2 \cdot k + (-3) \cdot (-2) \cdot 2k + 5 \cdot 1 \cdot (-1)] - [5 \cdot 2 \cdot 2k + (-3) \cdot 1 \cdot k + 2 \cdot (-2) \cdot (-1)]$$ $$\text{det} = [4k + 12k - 5] - [20k - 3k + 4]$$ $$\text{det} = 16k - 5 - (17k + 4)$$ $$\text{det} = 16k - 5 - 17k - 4 = -k - 9$$ Para que sean linealmente dependientes, el determinante debe ser cero: $$-k - 9 = 0 \implies k = -9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es cero, el rango de la matriz es menor que 3, lo que implica que los vectores no son independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = -9}$$

**(II) Compruebe que para $k = 2$ los vectores forman una base del espacio euclídeo tridimensional.** Para que tres vectores de $\mathbb{R}^3$ formen una base, deben ser linealmente independientes. Esto ocurre cuando el determinante de la matriz que forman es distinto de cero. Utilizamos la expresión del determinante obtenida en el apartado anterior: $\text{det} = -k - 9$. Sustituimos $k = 2$: $$\text{det}(k=2) = -2 - 9 = -11$$ Como **$-11 \neq 0$**, los vectores $\vec{u}, \vec{v}$ y $\vec{w}$ son linealmente independientes. Al ser tres vectores linealmente independientes en un espacio de dimensión 3, automáticamente constituyen una base de dicho espacio. 💡 **Tip:** En $\mathbb{R}^n$, cualquier conjunto de $n$ vectores linealmente independientes es una base del espacio. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Como det } \neq 0 \text{ para } k=2, \text{ los vectores forman una base.}}$$

**(III) Halla las coordenadas del vector $\vec{a} = (15, -11, 18)$ respecto de la base del apartado anterior.** Para $k=2$, los vectores de la base son: $\vec{u} = (2, -3, 5)$ $\vec{v} = (1, 2, -2)$ $\vec{w} = (2(2), -1, 2) = (4, -1, 2)$ Las coordenadas $(x, y, z)$ del vector $\vec{a}$ en la base $B = \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ son los escalares tales que: $$\vec{a} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w}$$ Sustituimos los componentes: $$(15, -11, 18) = x(2, -3, 5) + y(1, 2, -2) + z(4, -1, 2)$$ Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} 2x + y + 4z = 15 \\ -3x + 2y - z = -11 \\ 5x - 2y + 2z = 18 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Las coordenadas respecto a una base no son más que los coeficientes de la combinación lineal de los vectores de la base que dan como resultado el vector dado.

Resolvemos el sistema. Podemos usar el método de reducción sumando las ecuaciones (2) y (3) para eliminar la variable $y$: $$(-3x + 2y - z) + (5x - 2y + 2z) = -11 + 18$$ $$2x + z = 7 \implies z = 7 - 2x$$ Ahora despejamos $y$ de la ecuación (1): $$y = 15 - 2x - 4z$$ Sustituimos $z$: $$y = 15 - 2x - 4(7 - 2x) = 15 - 2x - 28 + 8x = 6x - 13$$ Sustituimos $y$ y $z$ en la ecuación (2) para hallar $x$: $$-3x + 2(6x - 13) - (7 - 2x) = -11$$ $$-3x + 12x - 26 - 7 + 2x = -11$$ $$11x - 33 = -11 \implies 11x = 22 \implies x = 2$$ Calculamos ahora $y$ y $z$: $$y = 6(2) - 13 = 12 - 13 = -1$$ $$z = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3$$ Las coordenadas son $(2, -1, 3)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Coordenadas: } (2, -1, 3)}$$