Inversa de una matriz y resolución de ecuación matricial

**(I) Halle, si existe, $A^{-1}$.** Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de la matriz $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (3 \cdot 2) - (5 \cdot 1) = 6 - 5 = 1.$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible** y por tanto existe $A^{-1}$. 💡 **Tip:** Una matriz $A$ de orden $n$ es invertible (regular) si y solo si su rango es $n$, lo que equivale a que su determinante sea no nulo.

Utilizamos el método de la matriz adjunta para calcular $A^{-1}$: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$$ 1. Calculamos la matriz de adjuntos (cofactores): $$A_{11} = (-1)^{1+1}(2) = 2$$ $$A_{12} = (-1)^{1+2}(1) = -1$$ $$A_{21} = (-1)^{2+1}(5) = -5$$ $$A_{22} = (-1)^{2+2}(3) = 3$$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$$ 2. Hallamos la traspuesta de la adjunta: $$(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 3. Como $|A| = 1$, la inversa coincide con la traspuesta de la adjunta: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}}$$

**(II) Determine, si existe, la solución $X$ de la ecuación matricial $A = AXA^{-1} + B$.** Primero, despejamos algebraicamente la matriz $X$ de la ecuación: $$A = AXA^{-1} + B$$ Restamos $B$ en ambos miembros: $$A - B = AXA^{-1}$$ Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en ambos lados: $$A^{-1}(A - B) = A^{-1}AXA^{-1}$$ $$A^{-1}(A - B) = IXA^{-1} = XA^{-1}$$ Ahora, multiplicamos por $A$ por la derecha en ambos lados: $$A^{-1}(A - B)A = XA^{-1}A$$ $$A^{-1}(A - B)A = XI = X$$ Por tanto, la solución es: $$X = A^{-1}(A - B)A$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial no existe la división. Para "quitar" una matriz que multiplica, debemos multiplicar por su inversa, manteniendo siempre el orden (izquierda o derecha) ya que el producto de matrices no es conmutativo.

Calculamos primero la resta $(A - B)$: $$A - B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-1 & 5-1 \\ 1-2 & 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos ahora el producto $M = A^{-1}(A - B)$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(2)+(-5)(-1) & 2(4)+(-5)(0) \\ -1(2)+3(-1) & -1(4)+3(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+5 & 8 \\ -2-3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ -5 & -4 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos $X = M \cdot A$: $$X = \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ -5 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9(3)+8(1) & 9(5)+8(2) \\ -5(3)+(-4)(1) & -5(5)+(-4)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27+8 & 45+16 \\ -15-4 & -25-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35 & 61 \\ -19 & -33 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 35 & 61 \\ -19 & -33 \end{pmatrix}}$$