Estudio completo de una función con raíz cúbica

**(I) El dominio, la continuidad y las asíntotas.** **Dominio:** La función $f(x) = \sqrt[3]{8 - x^2}$ es una función raíz de índice impar. Estas funciones están definidas para cualquier valor de su radicando. Como el radicando es un polinomio ($8-x^2$), su dominio es todo $\mathbb{R}$. $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ **Continuidad:** Al ser la composición de una raíz cúbica y un polinomio (ambos continuos en $\mathbb{R}$), la función es continua en todo su dominio, es decir, en **$\mathbb{R}$**. **Asíntotas:** 1. **Verticales:** No existen, ya que no hay valores de $x$ donde la función tienda a infinito (el dominio es toda la recta real). 2. **Horizontales:** Calculamos los límites al infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \sqrt[3]{8 - x^2} = \sqrt[3]{-\infty} = -\infty$$ No existen asíntotas horizontales. 3. **Oblicuas ($y = mx + n$):** $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{8 - x^2}}{x} = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{8 - x^2}{x^3}} = \sqrt[3]{0} = 0$$ Al ser $m=0$ y el límite de la función infinito, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Recuerda que las raíces de índice impar no tienen restricciones en su dominio, a diferencia de las raíces de índice par. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}, \text{ continua en } \mathbb{R}, \text{ sin asíntotas.}}$$

**(II) La derivabilidad, los extremos relativos y la monotonía.** Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de $f(x) = (8 - x^2)^{1/3}$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{1}{3}(8 - x^2)^{-2/3} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{3\sqrt[3]{(8 - x^2)^2}}$$ **Derivabilidad:** La derivada no existe en los puntos donde el denominador se anula: $$8 - x^2 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$$ La función es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}\}$. En estos puntos, la gráfica presenta una **tangente vertical**. **Puntos críticos:** Buscamos donde $f'(x) = 0$: $$\frac{-2x}{3\sqrt[3]{(8 - x^2)^2}} = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$$ 💡 **Tip:** Un punto donde la derivada no existe pero la función es continua puede ser un punto de inflexión con tangente vertical o un punto de retroceso.

Estudiamos el signo de $f'(x)$. Observamos que el denominador $3\sqrt[3]{(8 - x^2)^2}$ siempre es positivo (debido al cuadrado), por lo que el signo de $f'$ depende solo de $-2x$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2\sqrt{2}) & -2\sqrt{2} & (-2\sqrt{2}, 0) & 0 & (0, 2\sqrt{2}) & 2\sqrt{2} & (2\sqrt{2}, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{T. Vert.} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{T. Vert.} & \searrow \end{array}$$ - **Crecimiento:** $f(x)$ es creciente en $(-\infty, 0)$. - **Decrecimiento:** $f(x)$ es decreciente en $(0, +\infty)$. - **Máximo relativo:** En $x = 0$, $f(0) = \sqrt[3]{8} = 2$. El punto es $(0, 2)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, 0); \text{ Decreciente: } (0, +\infty); \text{ Máx: } (0, 2)}$$

**(III) La curvatura y los puntos de inflexión.** Derivamos $f'(x) = -\frac{2}{3}x(8 - x^2)^{-2/3}$: $$f''(x) = -\frac{2}{3} \left[ 1 \cdot (8 - x^2)^{-2/3} + x \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)(8 - x^2)^{-5/3} \cdot (-2x) \right]$$ $$f''(x) = -\frac{2}{3} \left[ \frac{1}{(8 - x^2)^{2/3}} + \frac{4x^2}{3(8 - x^2)^{5/3}} \right]$$ Para sumar, ponemos común denominador $3(8 - x^2)^{5/3}$: $$f''(x) = -\frac{2}{3} \left[ \frac{3(8 - x^2) + 4x^2}{3(8 - x^2)^{5/3}} \right] = -\frac{2}{3} \cdot \frac{24 + x^2}{3(8 - x^2)^{5/3}} = \frac{-2(x^2 + 24)}{9(8 - x^2)^{5/3}}$$ **Signo de $f''(x)$:** El numerador $-2(x^2+24)$ siempre es negativo. Por tanto, el signo de $f''$ es el opuesto al signo de $(8-x^2)$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2\sqrt{2}) & -2\sqrt{2} & (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) & 2\sqrt{2} & (2\sqrt{2}, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & \nexists & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \cup & \text{P.I.} & \cap & \text{P.I.} & \cup \end{array}$$ - **Concavidad ($\cup$):** $(-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, +\infty)$. - **Convexidad ($\cap$):** $(-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$. - **Puntos de Inflexión:** Existen cambios de curvatura en $x = \pm 2\sqrt{2}$. Los puntos son $(-2\sqrt{2}, 0)$ y $(2\sqrt{2}, 0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Puntos de inflexión: } (\pm 2\sqrt{2}, 0)}$$

Utilizando todos los elementos calculados: 1. Dominio $\mathbb{R}$, sin asíntotas. 2. Máximo en $(0, 2)$. 3. Puntos de corte con el eje $X$ y de inflexión en $(\pm 2.83, 0)$ con tangente vertical. 4. Comportamiento en el infinito hacia $-\infty$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=(8-x^2)^{1/3}", "color": "#2563eb" }, { "id": "max", "latex": "(0, 2)", "color": "#ef4444", "label": "Máximo" }, { "id": "pi1", "latex": "(-\\sqrt{8}, 0)", "color": "#16a34a", "label": "P.I." }, { "id": "pi2", "latex": "(\\sqrt{8}, 0)", "color": "#16a34a", "label": "P.I." } ], "bounds": { "left": -8, "right": 8, "bottom": -4, "top": 4 } } }