Probabilidad: Uso de complejo de piscinas

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos según los grupos de edad y el uso de las instalaciones: - $M$: El habitante tiene más de 65 años. - $J$: El habitante tiene menos de 18 años (jóvenes). - $R$: El habitante pertenece al resto de la población (entre 18 y 65 años). - $P$: El habitante utiliza el complejo de piscinas. - $\bar{P}$: El habitante NO utiliza el complejo de piscinas. Calculamos la probabilidad del grupo "resto" ($R$): $$P(R) = 1 - (P(M) + P(J)) = 1 - (0.50 + 0.10) = 0.40$$ A continuación, representamos la información mediante un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.

**(I) Elegido al azar un habitante de la localidad, calcule la probabilidad de que utilice el complejo de piscinas local.** Para calcular la probabilidad de que un habitante use la piscina $P(P)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de usar la piscina en cada grupo de edad: $$P(P) = P(M) \cdot P(P|M) + P(J) \cdot P(P|J) + P(R) \cdot P(P|R)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(P) = (0.50 \cdot 0.60) + (0.10 \cdot 0.80) + (0.40 \cdot 0.40)$$ $$P(P) = 0.30 + 0.08 + 0.16 = 0.54$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P) = 0.54}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes que forman una partición del espacio muestral.

**(II) Elegido al azar un habitante de la localidad que no utiliza el complejo de piscinas local, halle la probabilidad que tenga más de 65 años.** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(M|\bar{P})$. Usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|\bar{P}) = \frac{P(M \cap \bar{P})}{P(\bar{P})}$$ Primero, calculamos $P(\bar{P})$, que es el suceso contrario a utilizar la piscina: $$P(\bar{P}) = 1 - P(P) = 1 - 0.54 = 0.46$$ Ahora, calculamos la probabilidad de la intersección (habitante mayor de 65 que no usa la piscina): $$P(M \cap \bar{P}) = P(M) \cdot P(\bar{P}|M) = 0.50 \cdot (1 - 0.60) = 0.50 \cdot 0.40 = 0.20$$ Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada: $$P(M|\bar{P}) = \frac{0.20}{0.46} = \frac{20}{46} = \frac{10}{23} \approx 0.4348$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|\bar{P}) = \frac{10}{23} \approx 0.4348}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ya ha ocurrido $B$. En este caso, ya sabemos que el habitante no usa la piscina.