Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**(I) Discuta el sistema anterior para los distintos valores del parámetro $c$.** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} c & 3 & -1 \\ 1 & c & 1 \\ c & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} c & 3 & -1 & -3 \\ 1 & c & 1 & c \\ c & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} c & 3 & -1 \\ 1 & c & 1 \\ c & 1 & 1 \end{vmatrix} = (c^2 + 3c - 1) - (-c^2 + c + 3)$$ $$|A| = c^2 + 3c - 1 + c^2 - c - 3 = 2c^2 + 2c - 4$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $c$: $$2c^2 + 2c - 4 = 0 \implies c^2 + c - 2 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$c = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies c_1 = 1, \quad c_2 = -2$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica cuándo el sistema tiene solución única (SCD). Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es máximo.

Analizamos los rangos de $A$ y $A^*$ para los diferentes valores de $c$: **Caso 1: $c \neq 1$ y $c \neq -2$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es 3, por el **Teorema de Rouché-Capelli**: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = n \implies \text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}$$ **Caso 2: $c = 1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que la fila 2 y la fila 3 son iguales ($F_2 = F_3$). El determinante $|A|=0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Como $F_2 = F_3$ en la ampliada también, no hay menores de orden 3 no nulos en $A^*$, por lo que $\text{rang}(A^*) = 2$. $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3 = n \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}$$ **Caso 3: $c = -2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 3 & -1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A|=0$ y $\text{rang}(A)=2$ (el menor $\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4-3=1 \neq 0$). Calculamos el rango de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (4 + 12 - 3) - (12 + 4 + 3) = 13 - 19 = -6 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rang}(A^*) = 3$. $$\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*) \implies \text{Sistema Incompatible (SI)}$$ ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} c \neq 1, -2: \text{SCD} \\ c = 1: \text{SCI} \\ c = -2: \text{SI} \end{cases}}$$

**(II) Halle la solución o soluciones cuando el sistema sea compatible.** Resolvemos para $c \neq 1, -2$ usando la **Regla de Cramer**. El determinante es $|A| = 2c^2 + 2c - 4 = 2(c-1)(c+2)$. Calculamos los determinantes asociados a cada incógnita: $$|A_x| = \begin{vmatrix} -3 & 3 & -1 \\ c & c & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-3c + 3 - c) - (-c - 3 + 3c) = -4c + 3 - 2c + 3 = -6c + 6 = -6(c-1)$$ $$x = \frac{-6(c-1)}{2(c-1)(c+2)} = \frac{-3}{c+2}$$ $$|A_y| = \begin{vmatrix} c & -3 & -1 \\ 1 & c & 1 \\ c & 1 & 1 \end{vmatrix} = (c^2 - 3c - 1) - (-c^2 + c - 3) = 2c^2 - 4c + 2 = 2(c-1)^2$$ $$y = \frac{2(c-1)^2}{2(c-1)(c+2)} = \frac{c-1}{c+2}$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} c & 3 & -3 \\ 1 & c & c \\ c & 1 & 1 \end{vmatrix} = (c^2 + 3c^2 - 3) - (-3c^2 + c^2 + 3) = 4c^2 - 3 + 2c^2 - 3 = 6c^2 - 6 = 6(c-1)(c+1)$$ $$z = \frac{6(c-1)(c+1)}{2(c-1)(c+2)} = \frac{3(c+1)}{c+2}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{\left( \frac{-3}{c+2}, \frac{c-1}{c+2}, \frac{3c+3}{c+2} \right)}$$

Para $c = 1$, el sistema es compatible indeterminado. Las ecuaciones (eliminando la repetida) son: $$\begin{aligned} x + 3y - z &= -3 \\ x + y + z &= 1 \end{aligned}$$ Parametrizamos haciendo $z = \lambda$: $$\begin{aligned} x + 3y &= \lambda - 3 \\ x + y &= 1 - \lambda \end{aligned}$$ Restando las ecuaciones ($E_1 - E_2$): $$2y = (\lambda - 3) - (1 - \lambda) = 2\lambda - 4 \implies y = \lambda - 2$$ Sustituyendo en la segunda ecuación: $$x + (\lambda - 2) = 1 - \lambda \implies x = 3 - 2\lambda$$ 💡 **Tip:** En un SCI, siempre debemos expresar las soluciones en función de uno o más parámetros (grados de libertad). ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{\begin{cases} x = 3 - 2\lambda \\ y = \lambda - 2 \\ z = \lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$