Recta por dos puntos y coplanaridad en el espacio

**(I) Halle una ecuación de la recta que pasa por $A$ y por $B$.** Para definir una recta $r$ en el espacio, necesitamos un punto y un vector director. Tomamos el punto $A(1, -1, 0)$ y el vector director $\vec{v_r}$ como el vector que une $A$ con $B$: $$\vec{v_r} = \vec{AB} = B - A = (2 - 1, 2 - (-1), 1 - 0) = (1, 3, 1).$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector director de una recta que pasa por dos puntos $P$ y $Q$ es $\vec{v} = \vec{PQ} = Q - P$. El orden de los puntos no importa para la dirección, solo cambiaría el sentido del vector.

Con el punto $A(1, -1, 0)$ y el vector director $\vec{v_r} = (1, 3, 1)$, podemos escribir la ecuación de la recta en su forma continua: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo los valores: $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - (-1)}{3} = \frac{z - 0}{1}$$ Simplificando: $$\boxed{x - 1 = \frac{y + 1}{3} = z}$$ También podríamos expresarla en forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -1 + 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** Aunque el enunciado no especifica qué tipo de ecuación (vectorial, paramétrica, continua o implícita), la continua o la paramétrica suelen ser las más comunes en los exámenes de Bachillerato.

**(II) ¿Son coplanarios los puntos $A(1, -1, 0), B(2, 2, 1), C(1, -2, -1), D(0, -1, 2)$?** Cuatro puntos son coplanarios si los tres vectores formados por ellos (partiendo de un mismo punto de origen) son linealmente dependientes. Esto ocurre si el determinante formado por dichos vectores es igual a cero. Calculamos los vectores tomando $A$ como origen: $$\vec{AB} = (1, 3, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (1 - 1, -2 - (-1), -1 - 0) = (0, -1, -1)$$ $$\vec{AD} = D - A = (0 - 1, -1 - (-1), 2 - 0) = (-1, 0, 2)$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, el volumen del paralelepípedo que formarían es nulo, lo que significa que están en el mismo plano.

Procedemos a calcular el determinante de los tres vectores: $$\text{det}(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\text{det} = [1 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot 0] - [1 \cdot (-1) \cdot (-1) + 3 \cdot 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \cdot 0]$$ $$\text{det} = [-2 + 3 + 0] - [1 + 0 + 0]$$ $$\text{det} = 1 - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** Sé cuidadoso con los signos al aplicar Sarrus, especialmente en los términos de la diagonal secundaria.

Como el determinante de los vectores $\vec{AB}, \vec{AC}$ y $\vec{AD}$ es igual a $0$, los vectores son linealmente dependientes. Esto implica que los puntos $A, B, C$ y $D$ pertenecen a un mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos } A, B, C, D \text{ sí son coplanarios.}}$$