Estudio completo de una función con exponenciales

**(I) El dominio y las asíntotas.** Para determinar el dominio de la función $f(x) = \frac{e^x + x}{e^x - x}$, debemos identificar los valores de $x$ que anulan el denominador. El enunciado nos da una información clave: **$e^x > x$ para todo número real $x$**. Esto implica que: $$e^x - x > 0 \implies e^x - x \neq 0$$ Como el denominador nunca se anula y tanto el numerador como el denominador son funciones continuas en todo $\mathbb{R}$, el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional o de cociente de funciones está formado por todos los reales excepto aquellos que hacen cero el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}}$$

Analizamos la existencia de asíntotas: **Asíntotas Verticales (A.V.):** Al ser el dominio $\mathbb{R}$, no existen valores de $x$ donde la función tienda a infinito. Por tanto, **no hay asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos los límites en el infinito: 1. **Hacia $+\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x}{e^x - x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + 1}{e^x - 1} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \xrightarrow{\text{L'H}} \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x} = 1$$ Existe una asíntota horizontal **$y = 1$** cuando $x \to +\infty$. 2. **Hacia $-\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x + x}{e^x - x}$$ Recordamos que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. Por tanto: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{0 + x}{0 - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x} = -1$$ Existe una asíntota horizontal **$y = -1$** cuando $x \to -\infty$. 💡 **Tip:** Si existen asíntotas horizontales, no existen asíntotas oblicuas en ese mismo sentido del infinito. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A.V.: No hay; A.H.: } y=1 \text{ (en } +\infty) \text{ e } y=-1 \text{ (en } -\infty)}$$

**(II) La monotonía y los extremos relativos.** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(e^x+1)(e^x-x) - (e^x+x)(e^x-1)}{(e^x-x)^2}$$ Desarrollamos el numerador: $$Numerador = (e^{2x} - xe^x + e^x - x) - (e^{2x} - e^x + xe^x - x)$$ $$Numerador = e^{2x} - xe^x + e^x - x - e^{2x} + e^x - xe^x + x$$ $$Numerador = 2e^x - 2xe^x = 2e^x(1-x)$$ La derivada simplificada es: $$f'(x) = \frac{2e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 2e^x(1-x) = 0$$ Como $e^x$ nunca es cero, la única solución es $1 - x = 0$, es decir, **$x = 1$**. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico. El denominador $(e^x-x)^2$ y $2e^x$ son siempre positivos, por lo que el signo depende solo de $(1-x)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline 1-x & + & 0 & - \\ f'(x) & + & 0 & - \\ f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array} $$ - En $(-\infty, 1)$, $f'(x) > 0$, la función es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, la función es **decreciente**. Al haber un cambio de crecimiento a decrecimiento en $x=1$, tenemos un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada: $$f(1) = \frac{e^1 + 1}{e^1 - 1} = \frac{e+1}{e-1} \approx 2,16$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, 1); \text{ Decreciente: } (1, +\infty); \text{ Máximo: } \left(1, \frac{e+1}{e-1}\right)}$$

**(III) Dibuje la gráfica de $f$ destacando los elementos anteriores.** Resumimos los puntos clave para el dibujo: 1. Pasa por el punto $(0, f(0))$. Como $f(0) = \frac{e^0+0}{e^0-0} = \frac{1}{1} = 1$, el punto es **$(0,1)$**. 2. Tiene un máximo en **$(1, 2,16)$**. 3. Por la izquierda ($x \to -\infty$), se aproxima a la recta **$y = -1$**. 4. Por la derecha ($x \to +\infty$), se aproxima a la recta **$y = 1$**. Presentamos la gráfica interactiva con estos elementos: