Probabilidades de asistencia a cafeterías

Primero, definimos los sucesos del problema a partir de la información del enunciado: - $A$: El estudiante va a la cafetería $A$. - $B$: El estudiante va a la cafetería $B$. Los datos en términos de probabilidad son: - $P(A) = 0,30$ - $P(B) = 0,60$ - $P(A \cap B) = 0,20$ (estudiantes que van a ambas) 💡 **Tip:** Es fundamental identificar correctamente si los datos son probabilidades simples o intersecciones. "Ambas" siempre indica una intersección ($A \cap B$).

Para visualizar mejor todos los escenarios posibles (estudiantes que van a una sí y a otra no, o a ninguna), elaboramos una tabla de contingencia completando los huecos mediante restas: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0,20 & 0,10 & 0,30 \\ \bar{A} & 0,40 & 0,30 & 0,70 \\ \hline \text{Total} & 0,60 & 0,40 & 1,00 \end{array}$$ Explicación de los cálculos: - $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0,30 - 0,20 = 0,10$ - $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,60 - 0,20 = 0,40$ - $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ se halla restando los demás valores al total de $1,00$.

**(I) Si se elige al azar un estudiante que va a la cafetería $A$, halle la probabilidad de que también vaya a la cafetería $B$.** Se nos pide la probabilidad de que vaya a $B$ sabiendo que ya cumple la condición de ir a $A$. Esto es una probabilidad condicionada: $P(B|A)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(B|A) = \frac{0,20}{0,30} = \frac{2}{3} \approx 0,6667$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula $P(B|A)$ siempre lleva en el denominador la probabilidad del suceso que ya sabemos que ha ocurrido (la condición). ✅ **Resultado (I):** $$\boxed{P(B|A) = \frac{2}{3} \approx 0,6667}$$

**(II) Si se elige al azar un estudiante de esa universidad, calcule la probabilidad de que el estudiante no vaya ni a la cafetería $A$ ni a la cafetería $B$.** Buscamos la probabilidad del suceso "no ir a $A$ y no ir a $B$", que se expresa como $P(\bar{A} \cap \bar{B})$. Podemos resolverlo de dos formas: 1. **Usando la tabla de contingencia:** Mirando el cruce de la fila $\bar{A}$ y la columna $\bar{B}$, obtenemos directamente el valor **$0,30$**. 2. **Usando las leyes de De Morgan:** Sabemos que $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$. Calculamos primero la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,30 + 0,60 - 0,20 = 0,70$$ Entonces: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,70 = 0,30$$ 💡 **Tip:** Las leyes de De Morgan son muy útiles: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios, y viceversa. ✅ **Resultado (II):** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,30}$$