Intersección de planos y posición relativa de recta y plano

**(I) Pruebe que cualquiera sea el valor de $a$, los planos $\pi_1 : ax + ay - z = 0$, $\pi_2 : x - y + az = 0$ se cortan en una recta $r$.** Para que dos planos se corten en una recta, el sistema formado por sus ecuaciones debe tener rango 2. Consideramos la matriz de coeficientes $M$ del sistema formado por $\pi_1$ y $\pi_2$: $$M = \begin{pmatrix} a & a & -1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix}$$ Para determinar el rango, calculamos los posibles menores de orden 2: - Menor $\Delta_1$: $\begin{vmatrix} a & a \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -a - a = -2a$ - Menor $\Delta_2$: $\begin{vmatrix} a & -1 \\ -1 & a \end{vmatrix} = a^2 - 1$ - Menor $\Delta_3$: $\begin{vmatrix} a & -1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a^2 + 1$ Analizamos el menor $\Delta_3 = a^2 + 1$. Sabemos que para cualquier valor real de $a$, $a^2 \ge 0$, por lo que $a^2 + 1 \ge 1$. Esto implica que $\Delta_3$ **nunca es cero**. 💡 **Tip:** Si existe al menos un menor de orden 2 distinto de cero, el rango de la matriz es exactamente 2.

Como el rango de $M$ es 2 para cualquier valor de $a$, el sistema es **Compatible Indeterminado** con $3 - 2 = 1$ grado de libertad. Esto significa que la solución es un conjunto de puntos con una dimensión, es decir, una recta. Por tanto, los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ se cortan siempre en una recta $r$ independientemente del valor del parámetro $a$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{rango}(M) = 2 \implies \pi_1 \text{ y } \pi_2 \text{ se cortan en una recta } r \text{ para todo } a \in \mathbb{R}}$$

**(II) Estudie, en función de $a$, la posición relativa de la recta $r$ y el plano que contiene a los puntos $A(1, 1, 1), B(1, 0, 2)$ y $C(0, 1, 2a)$.** Primero, calculamos el plano $\pi_3$ que pasa por $A, B$ y $C$. Obtenemos dos vectores directores del plano: $$\vec{AB} = B - A = (1-1, 0-1, 2-1) = (0, -1, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0-1, 1-1, 2a-1) = (-1, 0, 2a-1)$$ Calculamos el vector normal $\vec{n}_3$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_3 = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2a-1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n}_3 = \mathbf{i}[(-1)(2a-1) - 0] - \mathbf{j}[0 - (-1)] + \mathbf{k}[0 - (-1)(-1)]$$ $$\vec{n}_3 = (1-2a)\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (1-2a, -1, -1)$$ La ecuación del plano $\pi_3$ es: $$(1-2a)(x - 1) - 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0$$ $$(1-2a)x - (1-2a) - y + 1 - z + 1 = 0 \implies (1-2a)x - y - z + 2a + 1 = 0$$ $$\boxed{\pi_3: (1-2a)x - y - z = -2a-1}$$

La posición relativa de la recta $r$ (intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$) y el plano $\pi_3$ se estudia analizando el sistema de tres ecuaciones: $$\begin{cases} ax + ay - z = 0 \\ x - y + az = 0 \\ (1-2a)x - y - z = -2a-1 \end{cases}$$ Sea $A$ la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & a & -1 \\ 1 & -1 & a \\ 1-2a & -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & a & -1 & 0 \\ 1 & -1 & a & 0 \\ 1-2a & -1 & -1 & -2a-1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} a & a & -1 \\ 1 & -1 & a \\ 1-2a & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ $|A| = [ (a)(-1)(-1) + (a)(a)(1-2a) + (-1)(1)(-1) ] - [ (-1)(-1)(1-2a) + (a)(a)(-1) + (a)(1)(-1) ]$ $|A| = [ a + a^2 - 2a^3 + 1 ] - [ 1 - 2a - a^2 - a ]$ $|A| = a + a^2 - 2a^3 + 1 - 1 + 2a + a^2 + a = -2a^3 + 2a^2 + 4a$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2a(a^2 - a - 2) = 0 \implies a = 0, \quad a = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Los valores son **$a=0, a=2, a=-1$**.

Aplicamos el Teorema de Rouché-Frobenius: **Caso 1: $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2, -1\}$** $|A| \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 3 = \text{rango}(A^*) = n$. El sistema es Compatible Determinado. La recta y el plano se cortan en un **punto único**. **Caso 2: $a = 0, a = 2$ o $a = -1$** En estos casos $\text{rango}(A) = 2$ (ya que las dos primeras filas no son proporcionales). Analizamos el rango de $A^*$ comprobando si el término independiente $(-2a-1)$ hace que el sistema sea incompatible. - Si $a=0$: El término independiente es $-1$. La 3ª fila de coeficientes es $(1, -1, -1)$. Como $R_1+R_2 = (1, -1, -1)$, pero $0+0 \neq -1$, el sistema es Incompatible. - Si $a=2$: $R_3$ de coeficientes es $(-3, -1, -1)$ y el término es $-5$. Se comprueba que $\text{rango}(A^*)=3$. - Si $a=-1$: $R_3$ de coeficientes es $(3, -1, -1)$ y el término es $1$. Se comprueba que $\text{rango}(A^*)=3$. 💡 **Tip:** Si $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 3$, la recta es paralela al plano. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2, -1\}: & \text{Recta y plano secantes en un punto} \\ \text{Si } a \in \{0, 2, -1\}: & \text{Recta y plano son paralelos} \end{cases}}$$