Invertibilidad y rango de una matriz con parámetros

**(I) Halle los valores de $m$ para los que la matriz $A$ tiene inversa.** Para que una matriz cuadrada $A$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto, el primer paso es calcular el determinante de la matriz en función del parámetro $m$. $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $|A| \neq 0$, la matriz es regular (tiene inversa). Si $|A| = 0$, la matriz es singular (no tiene inversa).

Calculamos el determinante de la matriz $A$. Dado que la segunda columna tiene dos ceros, lo más sencillo es desarrollar por los elementos de esa columna: $$|A| = 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{22} + (-1) \cdot C_{32}$$ Donde $C_{32}$ es el adjunto del elemento $a_{32}$: $$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & m \\ m & 4 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (4 - m^2) = m^2 - 4$$ Sustituyendo en la expresión del determinante: $$|A| = (-1) \cdot (m^2 - 4) = 4 - m^2$$ Si prefieres usar la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 0 \cdot 1) + (0 \cdot 4 \cdot 2) + (m \cdot m \cdot (-1)) - [ (2 \cdot 0 \cdot m) + (-1 \cdot 4 \cdot 1) + (1 \cdot m \cdot 0) ]$$ $$|A| = 0 + 0 - m^2 - [ 0 - 4 + 0 ] = -m^2 + 4 = 4 - m^2$$ $$\boxed{|A| = 4 - m^2}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$4 - m^2 = 0 \implies m^2 = 4 \implies m = \pm \sqrt{4}$$ Obtenemos dos valores: $$m = 2 \quad \text{y} \quad m = -2$$ Para estos valores, el determinante es cero y la matriz no tiene inversa.

La matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $m$ tales que el determinante sea distinto de cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ tiene inversa para } m \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}}$$

**(II) Determine el rango de $A$ cuando $m = 2$.** Sustituimos $m = 2$ en la matriz original: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Sabemos por el apartado anterior que si $m = 2$, entonces $|A| = 0$. Por lo tanto, el rango de $A$ no puede ser 3. El rango será al menos 1, ya que hay elementos distintos de cero. Para ver si el rango es 2, buscamos un menor de orden 2 cuyo determinante sea distinto de cero. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si $|A|=0$ en una matriz $3 \times 3$, el rango es como máximo 2.

Seleccionamos, por ejemplo, el menor formado por las dos últimas filas y las dos últimas columnas: $$\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1) - (4 \cdot (-1)) = 0 + 4 = 4 \neq 0$$ Al haber encontrado un menor de orden 2 distinto de cero, podemos afirmar que las filas (o columnas) implicadas son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 2, \text{ el rango de } A \text{ es } 2 \text{ (rg}(A) = 2)}$$