Estudio completo de una función con exponenciales

**(I) El dominio y las asíntotas.** El dominio de una función racional o con cociente está determinado por los valores de $x$ que no anulan el denominador. En este caso, el denominador es $e^x - x$. El enunciado nos indica explícitamente que $e^x \gt x$ para todo número real $x$. Esto implica que: $$e^x - x \gt 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ Como el denominador nunca se anula, el dominio de la función es todo el conjunto de los números reales: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ Al ser la función continua en todo su dominio y no existir puntos donde el denominador sea cero, concluimos que **no existen asíntotas verticales**. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos los límites de la función en el infinito: 1. **Cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x}{e^x - x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Dividimos numerador y denominador por $e^x$ (el término dominante): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{x}{e^x}}{1 - \frac{x}{e^x}} = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$$ (Nota: $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ por la jerarquía de infinitos o aplicando L'Hôpital). Así, tenemos una **asíntota horizontal en $y = 1$** por la derecha. 2. **Cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x + x}{e^x - x}$$ Sabemos que $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. Por tanto, el límite se comporta como: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{0 + x}{0 - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x} = -1$$ Así, tenemos una **asíntota horizontal en $y = -1$** por la izquierda. 💡 **Tip:** No olvides estudiar siempre ambos lados ($\pm\infty$) en funciones con exponenciales, ya que el comportamiento suele ser distinto. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: No hay} \quad | \quad \text{AH: } y=1 \ (x \to +\infty), \ y=-1 \ (x \to -\infty)}$$

**(II) La monotonía y los extremos relativos.** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: Sean $u = e^x + x \implies u' = e^x + 1$ y $v = e^x - x \implies v' = e^x - 1$. $$f'(x) = \frac{(e^x + 1)(e^x - x) - (e^x + x)(e^x - 1)}{(e^x - x)^2}$$ Desarrollamos el numerador: $$f'(x) = \frac{(e^{2x} - x e^x + e^x - x) - (e^{2x} - e^x + x e^x - x)}{(e^x - x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{e^{2x} - x e^x + e^x - x - e^{2x} + e^x - x e^x + x}{(e^x - x)^2}$$ Simplificando términos: $$f'(x) = \frac{2e^x - 2x e^x}{(e^x - x)^2} = \frac{2e^x(1 - x)}{(e^x - x)^2}$$ ✅ **Derivada:** $$\boxed{f'(x) = \frac{2e^x(1 - x)}{(e^x - x)^2}}$$

Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \iff 2e^x(1 - x) = 0$$ Como $e^x \gt 0$ para todo $x$, la única solución es $1 - x = 0 \implies x = 1$. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico. El denominador $(e^x - x)^2$ siempre es positivo, y $2e^x$ también, por lo que el signo depende solo de $(1 - x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ - En $(-\infty, 1)$, $f'(x) \gt 0 \implies f$ es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \lt 0 \implies f$ es **decreciente**. Existe un **máximo relativo** en $x = 1$. Calculamos su ordenada: $$f(1) = \frac{e^1 + 1}{e^1 - 1} = \frac{e + 1}{e - 1} \approx \frac{3.718}{1.718} \approx 2.16$$ ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** $$\boxed{\text{Creciente: } (-\infty, 1) \quad | \quad \text{Decreciente: } (1, +\infty) \quad | \quad \text{Máx. Relativo: } \left(1, \frac{e+1}{e-1}\right)}$$

**(III) Dibuje la gráfica de $f$ destacando los elementos anteriores.** Resumen de elementos para la gráfica: - Dominio: $\mathbb{R}$. - Corte con eje $Y$: $f(0) = \frac{e^0 + 0}{e^0 - 0} = \frac{1}{1} = 1$. Punto $(0, 1)$. - Asíntota Horizontal Izquierda: $y = -1$. - Asíntota Horizontal Derecha: $y = 1$. - Máximo relativo en $(1, 2.16)$. Utilizamos un interactivo para visualizar la función con sus asíntotas y el punto máximo.