Probabilidad condicionada y sucesos independientes

En primer lugar, definimos los sucesos del enunciado y extraemos los datos en forma de probabilidad: - $A$: El estudiante va a la cafetería $A$. $P(A) = 30\% = 0,30$ - $B$: El estudiante va a la cafetería $B$. $P(B) = 60\% = 0,60$ - $A \cap B$: El estudiante va a ambas cafeterías. $P(A \cap B) = 20\% = 0,20$ Para visualizar mejor la situación y facilitar los cálculos de los apartados, organizamos los datos en una **tabla de contingencia**. Completamos los huecos sabiendo que las sumas de filas y columnas deben coincidir con los totales: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0,20 & 0,10 & 0,30 \\ \bar{A} & 0,40 & 0,30 & 0,70 \\ \hline \text{Total} & 0,60 & 0,40 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, la intersección de un suceso y su contrario siempre suma el total del suceso margen. Por ejemplo, $P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) = P(A)$.

**(I) Si se elige al azar un estudiante que va a la cafetería $A$, halle la probabilidad de que también vaya a la cafetería $B$.** Se trata de una **probabilidad condicionada**. Queremos calcular la probabilidad de que vaya a $B$ sabiendo (o dado que) ya sabemos que va a $A$. La fórmula es: $$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(B|A) = \frac{0,20}{0,30} = \frac{2}{3} \approx 0,6667$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(B|A)$ no es lo mismo que $P(A|B)$. El suceso que "ya ha ocurrido" siempre va en el denominador de la fórmula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|A) = \frac{2}{3} \approx 0,6667}$$

**(II) Si se elige al azar un estudiante de esa universidad, calcule la probabilidad de que el estudiante no vaya ni a la cafetería $A$ ni a la cafetería $B$.** Buscamos la probabilidad de que ocurra el suceso contrario de $A$ y, simultáneamente, el suceso contrario de $B$. Esto se expresa como $P(\bar{A} \cap \bar{B})$. **Opción 1: Usando la tabla de contingencia** Miramos directamente la intersección de la fila $\bar{A}$ y la columna $\bar{B}$: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,30$$ **Opción 2: Usando las Leyes de De Morgan** Sabemos que $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B})$. Primero calculamos la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0,30 + 0,60 - 0,20 = 0,70$$ Ahora aplicamos el complementario: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,70 = 0,30$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios, y viceversa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,30}$$