Rango de una matriz con parámetro y propiedades de determinantes

**(I) Halle, según el valor del parámetro $a$, el rango de la matriz $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & -3 & a+4 \end{pmatrix}.** Sea $M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & -3 & a+4 \end{pmatrix}$. Como $M$ es una matriz de dimensiones $4 \times 3$, el rango máximo que puede alcanzar es $3$. Empezamos buscando el menor de orden 2 más sencillo para comprobar si el rango es al menos 2. Tomamos el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-3) = 4 \neq 0.$$ Como existe un menor de orden 2 distinto de cero, podemos afirmar que **$\text{rg}(M) \ge 2$** para cualquier valor de $a$. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor (determinante de una submatriz cuadrada) no nulo.

Para determinar si el rango es 3, debemos estudiar los posibles menores de orden 3. Vamos a calcular primero el menor formado por las filas 1, 2 y 3: $$M_{1,2,3} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$M_{1,2,3} = [1 \cdot 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \cdot 3] - [1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 \cdot 0]$$ $$M_{1,2,3} = [-2 + 0 + 9] - [1 - 18 + 0] = 7 - (-17) = 24.$$ *Nota: Al recalcular cuidadosamente:* $$M_{1,2,3} = (1(-2) - (-1)(-6) + 1(9-1)) = -2 - 6 + 8 = 0.$$ Efectivamente, el menor $M_{1,2,3}$ es nulo independientemente de $a$. Probamos ahora con el menor formado por las filas 1, 2 y 4 (que contiene el parámetro $a$): $$M_{1,2,4} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & a+4 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$M_{1,2,4} = [1 \cdot 1 \cdot (a+4) + 0 + (-9)] - [2 + 0 + 3 \cdot (-1) \cdot (a+4)]$$ $$M_{1,2,4} = a+4-9 - (2 - 3a - 12) = a - 5 - (-3a - 10)$$ $$M_{1,2,4} = a - 5 + 3a + 10 = 4a + 5.$$ 💡 **Tip:** Si un menor de orden 3 es cero, debemos comprobar otros menores de orden 3 antes de concluir sobre el rango.

Para que el rango sea 3, basta con que al menos uno de los menores de orden 3 sea distinto de cero. Hemos visto que $M_{1,2,4} = 4a + 5$. Analizamos cuándo este determinante se anula: $$4a + 5 = 0 \implies a = -\frac{5}{4}.$$ **Caso 1: $a \neq -\frac{5}{4}$** En este caso, el menor $M_{1,2,4} \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz es 3. **Caso 2: $a = -\frac{5}{4}$** Si $a = -\frac{5}{4}$, el menor $M_{1,2,4} = 0$. Si comprobamos el resto de menores de orden 3 (como $M_{2,3,4}$ o $M_{1,3,4}$), veremos que todos contienen el factor $(4a+5)$ o son proporcionales a él, por lo que también serán cero. Por ejemplo: $$M_{1,3,4} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & -3 & a+4 \end{vmatrix} = (3(a+4)+4-3) - (6+6-(a+4)) = 3a+13 - (8-a) = 4a+5.$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos para $a = -5/4$ y teníamos un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. ✅ **Resultado (Rango):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq -\frac{5}{4}, & \text{rg}(M) = 3 \\ \text{Si } a = -\frac{5}{4}, & \text{rg}(M) = 2 \end{cases}}$$

**(II) Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 4 tales que $\det(AB) = 1$. ¿Qué se puede decir del rango de $A$?** Utilizamos la propiedad del determinante de un producto de matrices: $$\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B).$$ Según el enunciado, sabemos que $\det(AB) = 1$. Por lo tanto: $$\det(A) \cdot \det(B) = 1.$$ Para que el producto de dos números reales sea igual a 1, ninguno de ellos puede ser cero. Esto implica necesariamente que: $$\det(A) \neq 0 \quad \text{y} \quad \det(B) \neq 0.$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de una matriz es distinto de cero, la matriz es regular (invertible) y su rango coincide con su dimensión (u orden).

Dado que $A$ es una matriz cuadrada de orden 4 y hemos deducido que su determinante es distinto de cero ($\det(A) \neq 0$): La matriz $A$ tiene **rango máximo**. Al ser de orden 4, esto significa que las 4 filas (y columnas) de la matriz son linealmente independientes. Concluimos que el rango de $A$ es exactamente 4. ✅ **Resultado (Rango de A):** $$\boxed{\text{rg}(A) = 4}$$