Producto vectorial y ángulo entre vectores

**(I) Halle todos los vectores de módulo 3 que son perpendiculares a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.** Un vector perpendicular a dos vectores dados $\vec{u}$ y $\vec{v}$ se puede obtener mediante el **producto vectorial** $\vec{u} \times \vec{v}$. Calculamos el determinante: $$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & m \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus o el desarrollo por la primera fila: $$\vec{w} = (0 \cdot m - 1 \cdot (-1))\vec{i} - (1 \cdot m - 1 \cdot 2)\vec{j} + (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 2)\vec{k}$$ $$\vec{w} = (1)\vec{i} - (m-2)\vec{j} + (-1)\vec{k}$$ $$\vec{w} = (1, 2-m, -1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{a} \times \vec{b}$ genera siempre un vector ortogonal a ambos vectores, $\vec{a}$ y $\vec{b}$.

Para encontrar los vectores de módulo 3, primero debemos calcular el módulo del vector perpendicular encontrado $\vec{w}$ y luego normalizarlo (hacerlo de módulo 1) para después multiplicarlo por 3. Calculamos el módulo de $\vec{w}$: $$|\vec{w}| = \sqrt{1^2 + (2-m)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + (4 - 4m + m^2) + 1} = \sqrt{m^2 - 4m + 6}$$ Como buscamos vectores de módulo 3, la solución viene dada por $\pm 3 \cdot \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|}$: $$\vec{x} = \pm \frac{3}{\sqrt{m^2 - 4m + 6}} (1, 2-m, -1)$$ Esto nos da dos vectores: $$\vec{x}_1 = \left( \frac{3}{\sqrt{m^2 - 4m + 6}}, \frac{3(2-m)}{\sqrt{m^2 - 4m + 6}}, \frac{-3}{\sqrt{m^2 - 4m + 6}} \right)$$ $$\vec{x}_2 = \left( \frac{-3}{\sqrt{m^2 - 4m + 6}}, \frac{-3(2-m)}{\sqrt{m^2 - 4m + 6}}, \frac{3}{\sqrt{m^2 - 4m + 6}} \right)$$ ✅ **Resultado (apartado I):** $$\boxed{\vec{x} = \pm \frac{3}{\sqrt{m^2-4m+6}}(1, 2-m, -1)}$$

**(II) Determine, si existe, un valor de $m$ tal que el correspondiente vector $\vec{v}$ forma un ángulo de $45^\circ$ con el vector $\vec{u}$.** El ángulo $\alpha$ entre dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ se define mediante el producto escalar: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$ Calculamos los componentes necesarios: 1. Producto escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1, 0, 1) \cdot (2, -1, m) = (1)(2) + (0)(-1) + (1)(m) = 2 + m$ 2. Módulo de $\vec{u}$: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ 3. Módulo de $\vec{v}$: $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + m^2} = \sqrt{5 + m^2}$ Sustituimos en la fórmula con $\alpha = 45^\circ$: $$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + m}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5 + m^2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Operamos en la ecuación anterior para despejar $m$: $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + m}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5 + m^2}}$$ Multiplicamos ambos miembros por $\sqrt{2}$: $$\frac{2}{2} = \frac{2 + m}{\sqrt{5 + m^2}} \implies 1 = \frac{2 + m}{\sqrt{5 + m^2}}$$ $$\sqrt{5 + m^2} = 2 + m$$ Elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz: $$(\sqrt{5 + m^2})^2 = (2 + m)^2$$ $$5 + m^2 = 4 + 4m + m^2$$ $$5 = 4 + 4m \implies 1 = 4m \implies m = \frac{1}{4}$$ **Comprobación:** Para $m = 1/4$, el producto escalar es $2 + 1/4 = 9/4$, que es positivo. Esto es coherente con un ángulo de $45^\circ$ (agudo), ya que su coseno es positivo. ✅ **Resultado (apartado II):** $$\boxed{m = \frac{1}{4}}$$