Divisibilidad y potencias de números

**¿es Z múltiplo de 10?** Para determinar si un número $Z$ es múltiplo de 10, debemos comprobar si su última cifra es 0. En términos matemáticos, esto equivale a estudiar el número bajo el módulo 10. Un número $Z$ es múltiplo de 10 si y solo si: $$Z \equiv 0 \pmod{10}$$ Dado que $Z = N^{2017}$, primero calcularemos el valor de $N \pmod{10}$ analizando cada uno de sus sumandos: $$N = 2^{2017} + 5^{2017} + 6^{2017}$$ 💡 **Tip:** El resto de dividir un número entre 10 siempre coincide con su última cifra.

Analizamos los sumandos más sencillos de $N$: 1. **Potencias de 5:** Cualquier potencia de un número terminado en 5 también termina en 5. $$5^1 = 5, \quad 5^2 = 25, \quad 5^3 = 125, \dots$$ Por tanto, $5^{2017} \equiv 5 \pmod{10}$. 2. **Potencias de 6:** Cualquier potencia de un número terminado en 6 también termina en 6. $$6^1 = 6, \quad 6^2 = 36, \quad 6^3 = 216, \dots$$ Por tanto, $6^{2017} \equiv 6 \pmod{10}$. $$\boxed{5^{2017} \equiv 5 \pmod{10} \quad \text{y} \quad 6^{2017} \equiv 6 \pmod{10}}$$

Para $2^{2017}$, observamos que las potencias de 2 siguen un ciclo periódico en sus últimas cifras: - $2^1 = 2$ - $2^2 = 4$ - $2^3 = 8$ - $2^4 = 16 \equiv 6 \pmod{10}$ - $2^5 = 32 \equiv 2 \pmod{10}$ (se repite el ciclo) El ciclo es $\{2, 4, 8, 6\}$ y tiene una longitud de **4**. Para saber en qué posición cae el exponente 2017, dividimos entre 4: $$2017 = 504 \cdot 4 + 1$$ El resto es 1, lo que significa que la última cifra de $2^{2017}$ es la misma que la de $2^1$: $$2^{2017} \equiv 2^1 \equiv 2 \pmod{10}$$ 💡 **Tip:** Para calcular $a^n \pmod{m}$, busca siempre un patrón cíclico en las potencias sucesivas. $$\boxed{2^{2017} \equiv 2 \pmod{10}}$$

Ahora sumamos los resultados obtenidos para hallar $N \pmod{10}$: $$N = 2^{2017} + 5^{2017} + 6^{2017}$$ $$N \equiv 2 + 5 + 6 \pmod{10}$$ $$N \equiv 13 \equiv 3 \pmod{10}$$ Esto significa que el número $N$ termina en 3. $$\boxed{N \equiv 3 \pmod{10}}$$

Finalmente, calculamos $Z = N^{2017} \pmod{10}$. Como sabemos que $N \equiv 3$, entonces: $$Z \equiv 3^{2017} \pmod{10}$$ Estudiamos el ciclo de las potencias de 3: - $3^1 = 3$ - $3^2 = 9$ - $3^3 = 27 \equiv 7 \pmod{10}$ - $3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{10}$ - $3^5 = 243 \equiv 3 \pmod{10}$ (se repite el ciclo) El ciclo es $\{3, 9, 7, 1\}$ y tiene longitud **4**. Al igual que antes, dividimos el exponente 2017 entre 4: $$2017 = 504 \cdot 4 + 1$$ El resto es 1, por lo que: $$Z \equiv 3^1 \equiv 3 \pmod{10}$$ Como $Z \equiv 3 \pmod{10}$, su última cifra es 3. Para ser múltiplo de 10, el resto debería haber sido 0. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{No} Z \text{ no es múltiplo de 10, ya que su última cifra es 3.}}$$