Área entre dos parábolas

Para hallar el área entre dos curvas, primero debemos encontrar sus puntos de intersección igualando ambas ecuaciones. Definimos las funciones como: $$f(x) = -x^2 - 10x$$ $$g(x) = (x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$$ Igualamos $f(x) = g(x)$: $$-x^2 - 10x = x^2 + 8x + 16$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación de segundo grado: $$0 = 2x^2 + 18x + 16$$ Dividimos toda la ecuación por $2$ para simplificar: $$x^2 + 9x + 8 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(1)(8)}}{2(1)} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 \pm 7}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{-2}{2} = -1$ - $x_2 = \frac{-16}{2} = -8$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para calcular el área del recinto cerrado. $$\boxed{x = -8, \quad x = -1}$$

Para realizar el dibujo y plantear la integral, analizamos cuál de las dos funciones queda por encima en el intervalo $[-8, -1]$. - $f(x) = -x^2 - 10x$ es una parábola con las ramas hacia abajo (cóncava). - $g(x) = (x+4)^2$ es una parábola con las ramas hacia arriba (convexa). Evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = -2$: $$f(-2) = -(-2)^2 - 10(-2) = -4 + 20 = 16$$ $$g(-2) = (-2+4)^2 = 2^2 = 4$$ Como $f(-2) \gt g(-2)$, sabemos que la función $f(x)$ es el "techo" del recinto y $g(x)$ es el "suelo". **Representación gráfica:**

El área del recinto se calcula mediante la integral definida de la diferencia entre la función superior e inferior en el intervalo de los puntos de corte: $$A = \int_{-8}^{-1} [f(x) - g(x)] \, dx$$ Sustituimos las funciones: $$A = \int_{-8}^{-1} [(-x^2 - 10x) - (x^2 + 8x + 16)] \, dx$$ $$A = \int_{-8}^{-1} (-2x^2 - 18x - 16) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al restar las funciones obtienes un resultado negativo, es probable que hayas intercambiado el orden de las funciones techo y suelo.

Calculamos la integral indefinida (primitiva): $$\int (-2x^2 - 18x - 16) \, dx = -\frac{2x^3}{3} - \frac{18x^2}{2} - 16x = -\frac{2x^3}{3} - 9x^2 - 16x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $[-8, -1]$: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} - 9x^2 - 16x \right]_{-8}^{-1}$$ Evaluamos en $x = -1$: $$F(-1) = -\frac{2(-1)^3}{3} - 9(-1)^2 - 16(-1) = \frac{2}{3} - 9 + 16 = \frac{2}{3} + 7 = \frac{23}{3}$$ Evaluamos en $x = -8$: $$F(-8) = -\frac{2(-8)^3}{3} - 9(-8)^2 - 16(-8) = \frac{1024}{3} - 9(64) + 128 = \frac{1024}{3} - 576 + 128 = \frac{1024}{3} - 448$$ $$F(-8) = \frac{1024 - 1344}{3} = -\frac{320}{3}$$ Finalmente, calculamos la diferencia: $$A = F(-1) - F(-8) = \frac{23}{3} - \left( -\frac{320}{3} \right) = \frac{23 + 320}{3} = \frac{343}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{Area = \frac{343}{3} \approx 114.33 \, u^2}$$