Estudio de una función racional: extremos, monotonía y asíntotas

**a) Razonar la existencia de máximos y mínimos de la función. Si existen hallarlos.** Primero, definimos el dominio de la función $f(x) = \frac{x^3 + 4}{x^2}$. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x^2 = 0 \implies x = 0$$ $$D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$$ Para hallar los candidatos a máximos y mínimos, calculamos la derivada primera $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(3x^2) \cdot x^2 - (x^3 + 4) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{3x^4 - 2x^4 - 8x}{x^4} = \frac{x^4 - 8x}{x^4}$$ Simplificando una $x$ (ya que $x \neq 0$): $$f'(x) = \frac{x^3 - 8}{x^3}$$ 💡 **Tip:** Para derivar un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. También podrías haber simplificado la función antes de derivar: $f(x) = x + 4x^{-2}$.

Buscamos los puntos donde la derivada se anula ($f'(x) = 0$): $$\frac{x^3 - 8}{x^3} = 0 \implies x^3 - 8 = 0 \implies x^3 = 8 \implies x = 2$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio ($x=0$) y el punto crítico ($x=2$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline x^3 - 8 & - & - & - & 0 & + \\ x^3 & - & 0 & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & \nexists & - & 0 & + \end{array}$$ 💡 **Tip:** Los puntos de discontinuidad del dominio (como $x=0$) siempre deben incluirse en la tabla de signos de la derivada para estudiar la monotonía correctamente.

**b) ¿Para qué intervalos es creciente la función?** Basándonos en la tabla anterior: - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En $(0, 2)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En $(2, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. **Razonamiento de extremos:** En $x=2$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que existe un **mínimo relativo**. Calculamos su coordenada $y$: $$f(2) = \frac{2^3 + 4}{2^2} = \frac{8 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ En $x=0$ hay una asíntota (discontinuidad), por lo que no puede haber un extremo allí. ✅ **Resultado (a y b):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (2, 3). \text{ No existen máximos.}}$$ $$\boxed{\text{Creciente en: } (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)}$$

**c) Hallar todas las asíntotas de la función.** **Asíntotas Verticales (A.V.):** Probamos en el punto de discontinuidad $x=0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^3 + 4}{x^2} = \frac{4}{0} = +\infty$$ Como el límite es infinito, ✅ **Resultado (A.V.):** $$\boxed{\text{A.V.: } x = 0}$$

**Asíntotas Horizontales (A.H.):** $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 4}{x^2} = \pm\infty$$ No existen asíntotas horizontales. **Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Buscamos una recta $y = mx + n$. Al ser el grado del numerador uno mayor que el del denominador, sabemos que existe. $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 4}{x^3} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3 + 4}{x^2} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 4 - x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^2} = 0$$ La asíntota es $y = 1x + 0$. 💡 **Tip:** También puedes hallar la A.O. realizando la división polinómica: $x^3+4$ entre $x^2$ da cociente $x$ y resto $4$. La A.O. es siempre el cociente. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{A.V.: } x=0, \quad \text{A.O.: } y=x}$$