Recta paralela a dos planos y distancia punto-plano

**a) Encontrar la ecuación de la recta que es paralela a los planos de ecuaciones: $\pi_1 \equiv x - 3y + z = 0$ y $\pi_2 \equiv 2x - y + 3z - 5 = 0$, y que pasa por el punto $P(2, 6, 5)$.** Si una recta $r$ es paralela a dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos, $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$. Por tanto, el vector director de la recta se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales: Extraemos los vectores normales de las ecuaciones de los planos: $$\vec{n}_1 = (1, -3, 1)$$ $$\vec{n}_2 = (2, -1, 3)$$ Calculamos el producto vectorial mediante un determinante: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-3 \cdot 3) + \vec{j}(1 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1)) - [\vec{k}(-3 \cdot 2) + \vec{i}(1 \cdot (-1)) + \vec{j}(1 \cdot 3)]$$ $$\vec{v}_r = -9\vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k} - (-6\vec{k} - \vec{i} + 3\vec{j})$$ $$\vec{v}_r = (-9+1)\vec{i} + (2-3)\vec{j} + (-1+6)\vec{k} = (-8, -1, 5)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, su vector director es perpendicular al vector normal del plano. Por tanto, si es paralela a dos planos, el vector director de la recta tiene la misma dirección que la intersección de dichos planos.

Ya tenemos un punto $P(2, 6, 5)$ y un vector director $\vec{v}_r = (-8, -1, 5)$. Podemos escribir la ecuación de la recta en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo los valores: $$r \equiv \frac{x - 2}{-8} = \frac{y - 6}{-1} = \frac{z - 5}{5}$$ O de forma simplificada, multiplicando los denominadores por $-1$: $$r \equiv \frac{x - 2}{8} = \frac{y - 6}{1} = \frac{z - 5}{-5}$$ ✅ **Resultado (ecuación de la recta):** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 2 - 8\lambda \\ y = 6 - \lambda \\ z = 5 + 5\lambda \end{cases}}$$

**b) Encontrar la distancia del primer plano a la recta obtenida.** Como hemos construido la recta $r$ para que sea paralela al plano $\pi_1$, la distancia entre la recta y el plano es constante en todos sus puntos. Por tanto, la distancia de la recta $r$ al plano $\pi_1$ es igual a la distancia de cualquier punto de la recta (por ejemplo, el punto $P$) al plano $\pi_1$. Datos: - Punto $P(2, 6, 5)$ - Plano $\pi_1 \equiv x - 3y + z = 0$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ viene dada por la fórmula: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Aplicamos la fórmula de la distancia con el punto $P(2, 6, 5)$ y el plano $\pi_1 \equiv 1x - 3y + 1z + 0 = 0$: $$d(r, \pi_1) = d(P, \pi_1) = \frac{|1 \cdot 2 - 3 \cdot 6 + 1 \cdot 5 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2}}$$ Calculamos el numerador: $$|2 - 18 + 5| = |-11| = 11$$ Calculamos el denominador: $$\sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$$ Por tanto: $$d(r, \pi_1) = \frac{11}{\sqrt{11}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(r, \pi_1) = \frac{11\sqrt{11}}{11} = \sqrt{11} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(r, \pi_1) = \sqrt{11} \approx 3,317 \text{ u}}$$