Invertibilidad y cálculo de la matriz inversa

**a) Calcula para qué valor, o valores, de x admite inversa la siguiente matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & x \\ x & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix}$** Una matriz cuadrada $A$ admite matriz inversa $A^{-1}$ si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto, el primer paso consiste en calcular el determinante de la matriz $A$ en función de $x$. 💡 **Tip:** Recuerda que si $|A| = 0$, la matriz es singular y no tiene inversa. Si $|A| \neq 0$, la matriz es regular o invertible.

Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & x \\ x & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1\cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) \cdot (-6) + x \cdot x \cdot (-1)] - [(-6) \cdot 0 \cdot x + (-1) \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot x \cdot 1]$$ Operamos los términos: $$|A| = [0 + 6 - x^2] - [0 + 1 + 0]$$ $$|A| = 6 - x^2 - 1 = 5 - x^2$$ $$\boxed{|A| = 5 - x^2}$$

Para que la matriz admita inversa, el determinante debe ser distinto de cero: $$5 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 5 \implies x \neq \pm \sqrt{5}$$ Por tanto, la matriz $A$ admite inversa para cualquier valor de $x$ real excepto para $\sqrt{5}$ y $-\sqrt{5}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ admite inversa si } x \in \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}}$$

**b) En caso de existir, calcula la inversa de A para $x = -3$.** Primero, comprobamos si para $x = -3$ la matriz tiene inversa sustituyendo en la expresión del determinante hallada anteriormente: $$|A| = 5 - (-3)^2 = 5 - 9 = -4$$ Como $|A| = -4 \neq 0$, **la matriz admite inversa**. La matriz $A$ para $x = -3$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -3 & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Utilizaremos la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$$ 💡 **Tip:** El proceso para calcular la inversa por adjuntos requiere tres pasos: calcular el determinante, hallar la matriz adjunta y trasponerla (o trasponer y luego adjuntar).

Calculamos los adjuntos de cada elemento de $A$ ($A_{ij}$): $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} -3 & -1 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} = -(-6) = 6$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} -3 & 0 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} = 3$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -(-3) = 3$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -6 & 0 \end{vmatrix} = -18$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -6 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 + 6) = -5$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 9) = 10$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 3$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -1 & 6 & 3 \\ 3 & -18 & -5 \\ -1 & 10 & 3 \end{pmatrix}$$

Trasponemos la matriz adjunta: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ 6 & -18 & 10 \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = -4$: $$A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ 6 & -18 & 10 \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 & -3/4 & 1/4 \\ -6/4 & 18/4 & -10/4 \\ -3/4 & 5/4 & -3/4 \end{pmatrix}$$ Simplificando las fracciones: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/4 & -3/4 & 1/4 \\ -3/2 & 9/2 & -5/2 \\ -3/4 & 5/4 & -3/4 \end{pmatrix}}$$