Suma de números consecutivos

El enunciado nos indica que tenemos 45 números "seguidos" (consecutivos). Esto significa que la diferencia entre un número y el siguiente es siempre la misma ($d=1$). Por lo tanto, estamos ante una **progresión aritmética** donde: - El número de términos es $n = 45$. - La diferencia es $d = 1$. - La suma de todos los términos es $S_{45} = 1890$. - Llamaremos $a_1$ al primer término (el menor) y $a_{45}$ al último término (el mayor). 💡 **Tip:** En una progresión aritmética, cada término se obtiene sumando una cantidad constante (diferencia) al anterior. Si los números son consecutivos, la diferencia es $d=1$.

Para resolver el problema, utilizaremos las dos fórmulas fundamentales de las progresiones aritméticas: 1. **Término general:** Permite calcular cualquier término en función del primero: $$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$ 2. **Suma de los $n$ términos:** $$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$ Sustituimos la primera fórmula en la segunda para trabajar solo con la incógnita $a_1$: $$S_n = \frac{(a_1 + a_1 + (n-1)d) \cdot n}{2} = \frac{(2a_1 + (n-1)d) \cdot n}{2}$$ 💡 **Tip:** Combinar ambas fórmulas es muy útil cuando conocemos la suma y el número de términos, pero desconocemos tanto el primero como el último.

Sustituimos los datos conocidos ($n=45$, $d=1$, $S_{45}=1890$) en la fórmula de la suma: $$1890 = \frac{(2a_1 + (45-1) \cdot 1) \cdot 45}{2}$$ Simplificamos la expresión paso a paso: $$1890 = \frac{(2a_1 + 44) \cdot 45}{2}$$ Dividimos el paréntesis por 2 para simplificar la fracción: $$1890 = (a_1 + 22) \cdot 45$$ Despejamos el paréntesis dividiendo por 45: $$\frac{1890}{45} = a_1 + 22$$ $$42 = a_1 + 22$$ $$a_1 = 42 - 22$$ $$\boxed{a_1 = 20}$$ El menor de los números que componen la suma es **20**.

Una vez hallado el primer término, calculamos el mayor de los números ($a_{45}$) utilizando la fórmula del término general: $$a_{45} = a_1 + (45-1) \cdot d$$ $$a_{45} = 20 + 44 \cdot 1$$ $$\boxed{a_{45} = 64}$$ **Comprobación:** Podemos verificar que la suma es correcta aplicando la fórmula original con nuestros resultados: $$S_{45} = \frac{(20 + 64) \cdot 45}{2} = \frac{84 \cdot 45}{2} = 42 \cdot 45 = 1890$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El menor es } 20 \text{ y el mayor es } 64}$$ 💡 **Tip:** Siempre que sea posible, realiza una comprobación rápida sustituyendo los valores obtenidos en las condiciones originales del problema para asegurar que el resultado es coherente.