Integral indefinida por partes

Para resolver la integral $\int (x+5)e^{3x} dx$, observamos que tenemos el producto de un polinomio $(x+5)$ por una función exponencial $e^{3x}$. Este tipo de integrales se resuelven habitualmente mediante el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla mnemotécnica común para elegir $u$ es **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Siguiendo la regla ALPES, elegimos el polinomio como $u$ para que al derivar se simplifique, y la exponencial como parte de $dv$: - Elegimos $u = x + 5$. Derivando respecto a $x$: $$du = 1 \cdot dx = dx$$ - Elegimos $dv = e^{3x} dx$. Integrando para hallar $v$: $$v = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una función exponencial del tipo $e^{ax}$ es $\frac{1}{a}e^{ax} + C$.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int (x+5)e^{3x} dx = (x+5) \cdot \left( \frac{1}{3}e^{3x} \right) - \int \frac{1}{3}e^{3x} dx$$ Simplificamos la expresión para preparar la última integral: $$\frac{x+5}{3}e^{3x} - \frac{1}{3} \int e^{3x} dx$$

Calculamos la integral que queda: $$\int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$$ Sustituimos de nuevo en nuestra expresión: $$I = \frac{x+5}{3}e^{3x} - \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3}e^{3x} \right) + C$$ $$I = \frac{x+5}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C$$ Para dejar el resultado más elegante, podemos sacar factor común $\frac{1}{9}e^{3x}$: $$I = \frac{1}{9}e^{3x} [3(x+5) - 1] + C$$ $$I = \frac{1}{9}e^{3x} (3x + 15 - 1) + C$$ $$I = \frac{3x+14}{9}e^{3x} + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int (x+5)e^{3x} dx = \frac{3x+14}{9}e^{3x} + C}$$