Cálculo de parámetros en una función cúbica y puntos de corte

**a) Calcula los valores de A y B.** El punto $P(1, -8)$ pertenece a la gráfica de la función $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx - 1$. Esto significa que cuando $x=1$, la imagen $f(1)$ debe ser igual a $-8$. Sustituimos las coordenadas del punto en la función: $$f(1) = 1^3 + A(1)^2 + B(1) - 1 = -8$$ $$1 + A + B - 1 = -8$$ $$A + B = -8$$ 💡 **Tip:** Si un punto $P(x_0, y_0)$ pertenece a la gráfica de $f$, entonces se cumple siempre que $f(x_0) = y_0$. Es la condición de pertenencia o 'paso' por el punto.

La recta $y = 2x - 10$ es tangente a la curva en $x=1$. La pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada de la función en ese punto. La pendiente de la recta dada es $m = 2$. Por tanto, se debe cumplir que $f'(1) = 2$. Primero calculamos la derivada genérica de $f(x)$: $$f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B$$ Ahora evaluamos en $x=1$ e igualamos a la pendiente: $$f'(1) = 3(1)^2 + 2A(1) + B = 2$$ $$3 + 2A + B = 2$$ $$2A + B = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la interpretación geométrica de la derivada en un punto es precisamente la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($A$ y $B$): $$\begin{cases} A + B = -8 \quad (1) \\ 2A + B = -1 \quad (2) \end{cases}$$ Podemos resolver por el método de reducción restando la ecuación (1) a la ecuación (2): $$(2A + B) - (A + B) = -1 - (-8)$$ $$2A - A + B - B = -1 + 8$$ $$A = 7$$ Ahora sustituimos $A=7$ en la ecuación (1): $$7 + B = -8 \implies B = -8 - 7 = -15$$ Por tanto, los valores buscados son: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 7, \quad B = -15}$$ La función es: $f(x) = x^3 + 7x^2 - 15x - 1$.

**b) Calcular los puntos de corte de la función $f(x)$ con la recta de ecuación $y=-15x-1$.** Para hallar los puntos de corte entre dos funciones, debemos igualar sus expresiones: $$f(x) = y$$ $$x^3 + 7x^2 - 15x - 1 = -15x - 1$$ Agrupamos todos los términos en un miembro de la ecuación: $$x^3 + 7x^2 - 15x + 15x - 1 + 1 = 0$$ $$x^3 + 7x^2 = 0$$ 💡 **Tip:** Al igualar las funciones estamos buscando los valores de $x$ donde ambas comparten la misma coordenada $y$.

Resolvemos la ecuación resultante factorizando por factor común: $$x^2(x + 7) = 0$$ Esto nos da dos soluciones para la abscisa $x$: 1. $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$ 2. $x + 7 = 0 \implies x_2 = -7$ Ahora calculamos la coordenada $y$ para cada punto sustituyendo en la ecuación de la recta (que es más sencilla que la de la función): - Para $x_1 = 0$: $y_1 = -15(0) - 1 = -1$. El punto es **$Q(0, -1)$**. - Para $x_2 = -7$: $y_2 = -15(-7) - 1 = 105 - 1 = 104$. El punto es **$R(-7, 104)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Puntos de corte: } (0, -1) \text{ y } (-7, 104)}$$