Punto en una recta equidistante de otros dos

Para encontrar el punto $P$, primero necesitamos la ecuación de la recta $r$ que pasa por $A(0, 2, 3)$ y $B(-1, 1, 1)$. Calculamos el vector director de la recta $\vec{v_r}$ utilizando los puntos $A$ y $B$: $$\vec{v_r} = \vec{AB} = B - A = (-1 - 0, 1 - 2, 1 - 3) = (-1, -1, -2)$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar el vector director con signo opuesto: $\vec{v} = (1, 1, 2)$. Utilizando el punto $A(0, 2, 3)$ y el vector $\vec{v}$, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta: $$r: \begin{cases} x = 0 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Cualquier punto $P$ de la recta se puede expresar de forma genérica en función de un parámetro $\lambda$ como $P(\lambda, 2 + \lambda, 3 + 2\lambda)$.

Buscamos un punto $P(\lambda, 2 + \lambda, 3 + 2\lambda)$ tal que $d(P, M) = d(P, N)$, donde $M(1, 0, 1)$ y $N(0, 4, 2)$. Recordamos la fórmula de la distancia entre dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $Q(x_2, y_2, z_2)$: $$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$ Para evitar las raíces, igualamos los cuadrados de las distancias: $d(P, M)^2 = d(P, N)^2$. Sustituimos las coordenadas de $P$, $M$ y $N$: $$(\lambda - 1)^2 + (2 + \lambda - 0)^2 + (3 + 2\lambda - 1)^2 = (\lambda - 0)^2 + (2 + \lambda - 4)^2 + (3 + 2\lambda - 2)^2$$ Simplificamos los términos dentro de los paréntesis: $$(\lambda - 1)^2 + (2 + \lambda)^2 + (2 + 2\lambda)^2 = \lambda^2 + (\lambda - 2)^2 + (2\lambda + 1)^2$$

Desarrollamos las identidades notables de la ecuación anterior: $$(\lambda^2 - 2\lambda + 1) + (\lambda^2 + 4\lambda + 4) + (4\lambda^2 + 8\lambda + 4) = \lambda^2 + (\lambda^2 - 4\lambda + 4) + (4\lambda^2 + 4\lambda + 1)$$ Agrupamos términos en ambos miembros: $$(1 + 1 + 4)\lambda^2 + (-2 + 4 + 8)\lambda + (1 + 4 + 4) = (1 + 1 + 4)\lambda^2 + (-4 + 4)\lambda + (4 + 1)$$ $$6\lambda^2 + 10\lambda + 9 = 6\lambda^2 + 5$$ Los términos cuadráticos $6\lambda^2$ se cancelan, quedando una ecuación lineal: $$10\lambda + 9 = 5$$ $$10\lambda = 5 - 9$$ $$10\lambda = -4 \implies \lambda = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$$ En formato decimal, **$\lambda = -0,4$**. 💡 **Tip:** Al igualar distancias a dos puntos, estamos buscando la intersección de la recta con el plano mediador del segmento $MN$.

Sustituimos el valor de $\lambda = -\frac{2}{5}$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: - $x = \lambda = -\frac{2}{5} = -0,4$ - $y = 2 + \lambda = 2 - \frac{2}{5} = \frac{10 - 2}{5} = \frac{8}{5} = 1,6$ - $z = 3 + 2\lambda = 3 + 2\left(-\frac{2}{5}\right) = 3 - \frac{4}{5} = \frac{15 - 4}{5} = \frac{11}{5} = 2,2$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P\left(-\frac{2}{5}, \frac{8}{5}, \frac{11}{5}\right) \text{ o bien } P(-0.4, 1.6, 2.2)}$$