Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro $a$** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema de ecuaciones: $$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 6 \\ 2 & a & 4 \\ 2 & a & 6 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 2 & 6 & 0 \\ 2 & a & 4 & 2 \\ 2 & a & 6 & a-2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el **Teorema de Rouché-Capelli**, debemos estudiar el rango de estas matrices en función del parámetro $a$. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes $A$.

Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna. En este caso, observamos que las filas 2 y 3 son muy parecidas, lo que facilitará el cálculo aplicando propiedades: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 6 \\ 2 & a & 4 \\ 2 & a & 6 \end{vmatrix}$$ Restamos la segunda fila a la tercera ($F_3 \to F_3 - F_2$): $$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 6 \\ 2 & a & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Ahora desarrollamos por la tercera fila: $$|A| = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & 2 \\ 2 & a \end{vmatrix} = 2(a^2 - 4)$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$2(a^2 - 4) = 0 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2$$ Los valores que definen los distintos casos son **$a = 2$** y **$a = -2$**.

Si $a \neq 2$ y $a \neq -2$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: $$|A| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3$$ Como el rango máximo de la matriz ampliada $A^*$ es 3 y $\text{rg}(A) \le \text{rg}(A^*)$, entonces: $$\text{rg}(A^*) = 3$$ Al coincidir los rangos con el número de incógnitas (3), aplicamos el Teorema de Rouché-Capelli: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{2, -2\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD).}}$$

Sustituimos $a = 2$ en la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 6 & 0 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas ($F_1 = F_3$), por lo que el rango de la matriz no puede ser 3. Analizamos los menores de orden 2: En $A$, el menor $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 12 - 8 = 4 \neq 0$, por lo tanto **$\text{rg}(A) = 2$**. En $A^*$, al ser $F_1 = F_3$, cualquier menor de orden 3 que incluya estas filas será 0. Por tanto, **$\text{rg}(A^*) = 2$**. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (nº de incógnitas): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 2, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI).}}$$

Sustituimos $a = -2$ en la matriz ampliada $A^*$: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 6 & 0 \\ 2 & -2 & 4 & 2 \\ 2 & -2 & 6 & -4 \end{array}\right)$$ En la matriz $A$, el menor $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -2 & 6 \end{vmatrix} = 12 - (-8) = 20 \neq 0$, por lo que **$\text{rg}(A) = 2$**. Estudiamos ahora el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{|cc|c|} 2 & 6 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ -2 & 6 & -4 \end{|} = (2 \cdot 4 \cdot (-4) + 6 \cdot 2 \cdot (-2) + 0) - (0 + 2 \cdot 6 \cdot 2 + (-4) \cdot (-2) \cdot 6)$$ $$= (-32 - 24) - (24 + 48) = -56 - 72 = -128 \neq 0$$ Como hemos encontrado un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, **$\text{rg}(A^*) = 3$**. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -2, \text{ el sistema es Incompatible (SI).}}$$

**En caso de existir, encontrar la solución para el caso $a = 0$.** Como $a=0$ no es ni $2$ ni $-2$, estamos ante un **SCD**. Sustituimos $a=0$ en el sistema: $$\begin{cases} 2y + 6z = 0 \quad (1) \\ 2x + 4z = 2 \quad (2) \\ 2x + 6z = -2 \quad (3) \end{cases}$$ Para resolverlo de forma sencilla, restamos la ecuación (2) a la (3): $$(2x + 6z) - (2x + 4z) = -2 - 2$$ $$2z = -4 \implies \mathbf{z = -2}$$ Sustituimos $z = -2$ en la ecuación (2): $$2x + 4(-2) = 2 \implies 2x - 8 = 2 \implies 2x = 10 \implies \mathbf{x = 5}$$ Sustituimos $z = -2$ en la ecuación (1): $$2y + 6(-2) = 0 \implies 2y - 12 = 0 \implies 2y = 12 \implies \mathbf{y = 6}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar la solución sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones originales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 5, y = 6, z = -2}$$