Sistema de ecuaciones: Problema de viajeros de autobús

Para resolver el problema, lo primero es identificar las incógnitas basándonos en los tipos de viajeros: - Sea $x$ el número de viajeros que pagan el billete entero ($1,2$ €). - Sea $y$ el número de viajeros que pagan el $80\%$ del billete. - Sea $z$ el número de viajeros que pagan el $50\%$ del billete (mayor descuento). Calculamos los precios reducidos: - Precio con $80\%$ de pago: $1,2 \cdot 0,8 = 0,96$ €. - Precio con $50\%$ de pago: $1,2 \cdot 0,5 = 0,6$ €. 💡 **Tip:** Define siempre claramente qué representa cada variable antes de escribir las ecuaciones para evitar confusiones al interpretar el resultado final.

A partir de la información del enunciado, planteamos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1. **Total de viajeros:** El autobús transporta 60 personas: $$x + y + z = 60$$ 2. **Recaudación total:** La suma de lo que paga cada grupo es $46,56$ €: $$1,2x + 0,96y + 0,6z = 46,56$$ 3. **Relación entre grupos:** Los viajeros con mayor descuento ($z$) son el doble que el resto ($x+y$): $$z = 2(x + y) \implies 2x + 2y - z = 0$$ El sistema a resolver es: $$\begin{cases} x + y + z = 60 \\ 1,2x + 0,96y + 0,6z = 46,56 \\ 2x + 2y - z = 0 \end{cases}$$

Podemos simplificar el sistema utilizando la tercera ecuación. Sabemos que $z = 2(x + y)$. Sustituimos $z$ en la primera ecuación: $$x + y + 2(x + y) = 60 \implies 3(x + y) = 60 \implies x + y = 20$$ Como $x + y = 20$, podemos hallar inmediatamente el valor de $z$ usando la primera ecuación ($x + y + z = 60$): $$20 + z = 60 \implies z = 40$$ 💡 **Tip:** Cuando una de las ecuaciones relaciona una variable con la suma de las otras, la sustitución suele ser el camino más rápido para reducir el número de incógnitas.

Ahora que sabemos que $z = 40$ y que $y = 20 - x$, sustituimos estos valores en la ecuación de la recaudación: $$1,2x + 0,96(20 - x) + 0,6(40) = 46,56$$ Operamos paso a paso: $$1,2x + 19,2 - 0,96x + 24 = 46,56$$ $$0,24x + 43,2 = 46,56$$ $$0,24x = 46,56 - 43,2$$ $$0,24x = 3,36$$ Despejamos $x$: $$x = \frac{3,36}{0,24} = 14$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = 20 - 14 = 6$$

Hemos obtenido los siguientes valores para cada tipo de viajero: - Viajeros con billete entero ($x$): **14** - Viajeros con billete al $80\%$ ($y$): **6** - Viajeros con billete al $50\%$ ($z$): **40** **Comprobación:** - Total: $14 + 6 + 40 = 60$ viajeros (Correcto). - Recaudación: $1,2(14) + 0,96(6) + 0,6(40) = 16,8 + 5,76 + 24 = 46,56$ € (Correcto). - Relación: $40 = 2(14 + 6)$ (Correcto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Billete entero: 14 viajeros} \\ \text{80\% de pago: 6 viajeros} \\ \text{50\% de pago: 40 viajeros} \end{matrix}}$$