Integral de una función racional con raíces múltiples

Para resolver la integral de una función racional, el primer paso es descomponer el denominador en factores irreducibles. El denominador es $Q(x) = x^3 - 2x^2 + x$. Podemos extraer factor común $x$: $$x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1)$$ Observamos que el segundo factor es una identidad notable (el cuadrado de una resta): $$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$$ Por lo tanto, el denominador factorizado es: $$\boxed{x(x - 1)^2}$$ Las raíces son $x = 0$ (raíz real simple) y $x = 1$ (raíz real con multiplicidad 2). 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar funciones racionales, siempre debemos intentar factorizar el denominador para aplicar el método de fracciones simples.

Dado que tenemos una raíz simple ($x=0$) y una raíz doble ($x=1$), la descomposición de la fracción original debe tener la siguiente forma: $$\frac{x^2 + 5}{x(x - 1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}$$ Para hallar los valores de $A$, $B$ y $C$, sumamos las fracciones igualando los numeradores: $$x^2 + 5 = A(x - 1)^2 + Bx(x - 1) + Cx$$ 💡 **Tip:** Cuando una raíz tiene multiplicidad $n$, se deben incluir $n$ fracciones con potencias crecientes del factor en el denominador.

Podemos obtener los valores de las constantes dando valores estratégicos a $x$ (normalmente las raíces del denominador): - **Si $x = 0$:** $$0^2 + 5 = A(0 - 1)^2 + B \cdot 0(0 - 1) + C \cdot 0 \implies 5 = A(1) \implies \mathbf{A = 5}$$ - **Si $x = 1$:** $$1^2 + 5 = A(1 - 1)^2 + B \cdot 1(1 - 1) + C \cdot 1 \implies 6 = C \implies \mathbf{C = 6}$$ - **Para hallar B, usamos otro valor (por ejemplo $x = 2$) o igualamos los coeficientes de $x^2$:** El coeficiente de $x^2$ en la izquierda es $1$. En la derecha es $A + B$. $$1 = A + B \implies 1 = 5 + B \implies \mathbf{B = -4}$$ Sustituyendo los valores, la fracción queda: $$\frac{x^2 + 5}{x^3 - 2x^2 + x} = \frac{5}{x} - \frac{4}{x-1} + \frac{6}{(x-1)^2}$$ $$\boxed{A=5, B=-4, C=6}$$

Ahora sustituimos la fracción original por su descomposición en la integral: $$\int \left( \frac{5}{x} - \frac{4}{x-1} + \frac{6}{(x-1)^2} \right) dx$$ Por la propiedad de linealidad de la integral, separamos en tres integrales inmediatas: $$I = 5 \int \frac{1}{x} dx - 4 \int \frac{1}{x-1} dx + 6 \int (x-1)^{-2} dx$$ Calculamos cada una: 1. $5 \int \frac{1}{x} dx = 5 \ln|x|$ 2. $-4 \int \frac{1}{x-1} dx = -4 \ln|x-1|$ 3. $6 \int (x-1)^{-2} dx = 6 \cdot \frac{(x-1)^{-1}}{-1} = -\frac{6}{x-1}$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a|$ y que $\int (x+a)^n dx = \frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}$ para $n \neq -1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{I = 5 \ln|x| - 4 \ln|x-1| - \frac{6}{x-1} + k}$$ (donde $k$ es la constante de integración).