Estudio de una función racional: dominio, monotonía y recta tangente

**a) ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Para qué intervalos es creciente?** El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Para hallar el dominio de $f(x) = \frac{x}{1-x^2}$, igualamos el denominador a cero: $$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm \sqrt{1} \implies x = 1, \quad x = -1$$ Por lo tanto, la función no está definida en $x = 1$ ni en $x = -1$. 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales $\frac{P(x)}{Q(x)}$, el dominio es $\mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x) = 0\}$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)}$$

Para estudiar el crecimiento, necesitamos calcular la primera derivada $f'(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x)'(1-x^2) - x(1-x^2)'}{(1-x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1 \cdot (1-x^2) - x(-2x)}{(1-x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1 - x^2 + 2x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{1 + x^2}{(1-x^2)^2}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ para determinar los intervalos de crecimiento: - El numerador $1 + x^2$ es siempre positivo para cualquier $x \in \mathbb{R}$, ya que $x^2 \ge 0$. - El denominador $(1-x^2)^2$ es un cuadrado perfecto, por lo que siempre es positivo en todo el dominio de la función. Como $f'(x) \gt 0$ para todos los puntos de su dominio, la función es estrictamente creciente en cada uno de los intervalos donde está definida. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & + & +\\\hline f(x) & \nearrow & \nearrow & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (Intervalos de crecimiento):** $$\boxed{\text{Creciente en: } (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)}$$

**b) Razonar si tiene máximos y mínimos. En caso afirmativo hallarlos.** Los posibles extremos relativos (puntos críticos) se encuentran donde la primera derivada es igual a cero o donde no existe. Buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$: $$\frac{1 + x^2}{(1-x^2)^2} = 0 \implies 1 + x^2 = 0 \implies x^2 = -1$$ Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales (un número al cuadrado no puede ser negativo). Dado que $f'(x)$ nunca se anula y es siempre positiva en el dominio, no existen cambios de signo en la derivada (la función siempre sube y nunca alcanza un pico o valle). Además, los puntos donde la derivada no existe ($x = \pm 1$) no pertenecen al dominio, por lo que no pueden ser extremos. 💡 **Tip:** Para que exista un máximo o mínimo relativo en un punto $a$, debe cumplirse que $f'(a) = 0$ (o que no exista derivada) y que haya un cambio de signo en $f'(x)$ al pasar por ese punto. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{La función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.}}$$

**c) Calcula la recta tangente a dicha curva en el punto cuya abcisa es $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $x = a$ viene dada por la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, $a = 0$. Necesitamos calcular la imagen de la función y el valor de la derivada en ese punto: 1. **Imagen en el punto:** $f(0) = \frac{0}{1-0^2} = \frac{0}{1} = 0$. El punto de tangencia es $(0, 0)$. 2. **Pendiente de la tangente:** $m = f'(0) = \frac{1 + 0^2}{(1 - 0^2)^2} = \frac{1}{1} = 1$. Sustituimos en la fórmula: $$y - 0 = 1(x - 0) \implies y = x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada de la función evaluada en la abscisa de dicho punto. ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = x}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{x}{1-x^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "t", "latex": "y=x", "color": "#ef4444" }, { "id": "p", "latex": "(0,0)", "color": "#111827", "showLabel": true, "label": "Punto de tangencia" } ], "bounds": { "left": -4, "right": 4, "bottom": -4, "top": 4 } } }