Recta perpendicular a otra desde un punto exterior

Para hallar la recta $s$ que pasa por $A(14, 3, 3)$ y corta perpendicularmente a $r$, debemos encontrar el punto de intersección $M$ (el pie de la perpendicular) entre ambas rectas. La estrategia será: 1. Determinar un plano $\pi$ que sea perpendicular a la recta $r$ y que contenga al punto $A$. 2. Hallar el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. 3. La recta buscada $s$ será la que pase por los puntos $A$ y $M$. Extraemos el vector director de la recta $r$: $$\vec{v}_r = (2, -2, 3)$$ Y un punto de la recta $r$: $$P_r = (0, 3, 1)$$ 💡 **Tip:** Si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta es el vector normal del plano.

El plano $\pi$ que buscamos tiene como vector normal el vector director de la recta $r$, es decir, $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (2, -2, 3)$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituyendo las componentes del vector normal: $$2x - 2y + 3z + D = 0$$ Como el plano debe pasar por el punto $A(14, 3, 3)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$2(14) - 2(3) + 3(3) + D = 0$$ $$28 - 6 + 9 + D = 0 \implies 31 + D = 0 \implies D = -31$$ Por lo tanto, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\boxed{\pi \equiv 2x - 2y + 3z - 31 = 0}$$

Para hallar el punto de intersección $M$, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 3 - 2\lambda \\ z = 1 + 3\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi$: $$2(2\lambda) - 2(3 - 2\lambda) + 3(1 + 3\lambda) - 31 = 0$$ $$4\lambda - 6 + 4\lambda + 3 + 9\lambda - 31 = 0$$ $$(4 + 4 + 9)\lambda + (-6 + 3 - 31) = 0$$ $$17\lambda - 34 = 0 \implies \lambda = \frac{34}{17} = 2$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = 2$ en las paramétricas de $r$: $$x = 2(2) = 4$$ $$y = 3 - 2(2) = -1$$ $$z = 1 + 3(2) = 7$$ El punto de corte es: $$\boxed{M(4, -1, 7)}$$

La recta $s$ es la que pasa por $A(14, 3, 3)$ y $M(4, -1, 7)$. Hallamos su vector director $\vec{v}_s$: $$\vec{v}_s = \vec{AM} = M - A = (4 - 14, -1 - 3, 7 - 3) = (-10, -4, 4)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por $-2$ para trabajar con números más sencillos: $$\vec{v}'_s = (5, 2, -2)$$ La ecuación continua de la recta $s$ es: $$\frac{x - 14}{5} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 3}{-2}$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba que el vector obtenido $\vec{v}_s$ es perpendicular a $\vec{v}_r$ mediante el producto escalar: $(5, 2, -2) \cdot (2, -2, 3) = 10 - 4 - 6 = 0$. ¡Es correcto! ✅ **Resultado final:** $$\boxed{s \equiv \frac{x - 14}{5} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 3}{-2}}$$