Invertibilidad y potencias de matrices con parámetros

**a) ¿Para qué valores de m la matriz A posee inversa? Estudiar el rango de la matriz en función del parámetro m.** Una matriz cuadrada $A$ posee inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Además, el rango de la matriz será máximo (3 en este caso) cuando el determinante no sea nulo. Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna. En este caso, desarrollamos por la primera columna (que tiene dos ceros): $$|A| = \begin{vmatrix} m & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & m \end{vmatrix} = m \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & m \end{vmatrix} - 0 + 0$$ $$|A| = m \cdot [(-2) \cdot m - 0 \cdot 1] = m(-2m) = -2m^2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-2m^2 = 0 \implies m^2 = 0 \implies m = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz de orden $n$ tiene inversa si su rango es igual a $n$.

Analizamos los casos posibles para el rango y la existencia de la inversa: **Caso 1: $m \neq 0$** Si $m \neq 0$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz es 3 y la matriz **posee inversa**. **Caso 2: $m = 0$** Si $m = 0$, la matriz queda como: $$A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ En este caso, $|A| = 0$, por lo que el rango es menor que 3 y la matriz **no tiene inversa**. Observamos las columnas de la matriz: la primera y la tercera son nulas. La segunda columna es $\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$, que no es nula. Por lo tanto, hay una sola columna linealmente independiente. El rango es el número de filas o columnas linealmente independientes. Aquí, el rango es 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } m \neq 0: \text{rg}(A)=3 \text{ y existe } A^{-1} \\ \text{Si } m = 0: \text{rg}(A)=1 \text{ y no existe } A^{-1} \end{cases}}$$

**b) Hallar el valor m para que se cumpla la igualdad $A^2 = 4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.** Primero calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = \begin{pmatrix} m & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & m \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} m & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & m \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: - $(m \cdot m) + (-2 \cdot 0) + (0 \cdot 0) = m^2$ - $(m \cdot -2) + (-2 \cdot -2) + (0 \cdot 1) = -2m + 4$ - $(m \cdot 0) + (-2 \cdot 0) + (0 \cdot m) = 0$ - Fila 2: - $(0 \cdot m) + (-2 \cdot 0) + (0 \cdot 0) = 0$ - $(0 \cdot -2) + (-2 \cdot -2) + (0 \cdot 1) = 4$ - $(0 \cdot 0) + (-2 \cdot 0) + (0 \cdot m) = 0$ - Fila 3: - $(0 \cdot m) + (1 \cdot 0) + (m \cdot 0) = 0$ - $(0 \cdot -2) + (1 \cdot -2) + (m \cdot 1) = m - 2$ - $(0 \cdot 0) + (1 \cdot 0) + (m \cdot m) = m^2$ $$A^2 = \begin{pmatrix} m^2 & 4-2m & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & m-2 & m^2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Al multiplicar matrices $A \cdot B$, el elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$.

La condición del enunciado es $A^2 = 4I$, donde $I$ es la matriz identidad: $$\begin{pmatrix} m^2 & 4-2m & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & m-2 & m^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos correspondientes deben ser iguales. Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1) $m^2 = 4 \implies m = \pm 2$ 2) $4 - 2m = 0 \implies 2m = 4 \implies m = 2$ 3) $m - 2 = 0 \implies m = 2$ Para que se cumplan todas las ecuaciones simultáneamente, el único valor posible es la intersección de las soluciones: - De la ec. (2) y (3) obtenemos obligatoriamente $m = 2$. - Comprobamos si $m = 2$ cumple la ec. (1): $2^2 = 4$, lo cual es correcto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 2}$$