Potencia de una matriz de orden 2

**Calcular la potencia $A^{2017}$ de la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.** Para calcular una potencia elevada de una matriz, el método más habitual consiste en calcular las primeras potencias ($A^2, A^3, A^4...$) hasta encontrar un patrón o una relación con la matriz identidad $I$. Calculamos $A^2$ multiplicando la matriz por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: $$A^2 = \begin{pmatrix} (0)(0) + (1)(-1) & (0)(1) + (1)(0) \\ (-1)(0) + (0)(-1) & (-1)(1) + (0)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Observamos que el resultado es la matriz identidad multiplicada por $-1$: $$\boxed{A^2 = -I}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad de orden 2 es $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

A partir de $A^2 = -I$, calculamos las siguientes potencias para ver cuándo recuperamos la matriz identidad $I$: Para $A^3$: $$A^3 = A^2 \cdot A = (-I) \cdot A = -A$$ Para $A^4$: $$A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I$$ Como hemos obtenido que $A^4 = I$, sabemos que las potencias de la matriz $A$ se repetirán en un ciclo de **periodo 4**: - $A^1 = A$ - $A^2 = -I$ - $A^3 = -A$ - $A^4 = I$ - $A^5 = A^4 \cdot A = I \cdot A = A$ (comienza el ciclo de nuevo) 💡 **Tip:** Siempre que encuentres que $A^n = I$, el resto de la división del exponente buscado entre $n$ te indicará a qué potencia simple equivale.

Para hallar $A^{2017}$, dividimos el exponente $2017$ entre el periodo del ciclo, que es $4$: $$2017 = 4 \cdot 504 + 1$$ Esto significa que el ciclo de potencias se completa $504$ veces y sobra una potencia ($A^1$). Aplicando las propiedades de las potencias: $$A^{2017} = A^{4 \cdot 504 + 1} = (A^4)^{504} \cdot A^1$$ Sustituimos $A^4 = I$: $$A^{2017} = (I)^{504} \cdot A = I \cdot A = A$$ Por tanto, el resultado es la propia matriz $A$: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A^{2017} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}}$$