Área de recintos limitados por una parábola y un rectángulo

**a) Dibuja la gráfica de la función y el rectángulo ABCD.** Primero definimos los límites del rectángulo y la función: - El rectángulo tiene base en el eje $X$ desde $x=0$ hasta $x=4$ y altura $2$ (desde $y=0$ hasta $y=2$). - La función es una parábola convexa $f(x) = \frac{1}{2}x^2$ con vértice en $(0,0)$. Buscamos el punto donde la parábola corta el lado superior del rectángulo ($y=2$): $$\frac{1}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$$ Como estamos dentro del rectángulo ($x \ge 0$), el punto de corte es $(2, 2)$, que pertenece al segmento $\overline{BC}$. Esto significa que la curva atraviesa el rectángulo desde el origen $A(0,0)$ hasta el punto $(2,2)$ y, a partir de $x=2$, la parábola queda por encima del rectángulo. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "rect", "latex": "0 \\le x \\le 4 \\left\\{ 0 \\le y \\le 2 \\right\\}", "color": "#111827" }, { "id": "f", "latex": "y = \\frac{1}{2}x^2", "color": "#2563eb" }, { "id": "area1", "latex": "0 \\le y \\le \\min\\left(2, \\frac{1}{2}x^2\\right) \\left\\{ 0 \\le x \\le 4 \\right\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "area2", "latex": "\\frac{1}{2}x^2 \\le y \\le 2 \\left\\{ 0 \\le x \\le 2 \\right\\}", "color": "#fca5a5" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 5, "bottom": -1, "top": 3 } } }

**b) Calcula el área de cada uno de los recintos.** El rectángulo queda dividido en dos partes por la curva: 1. **Recinto Superior ($R_1$):** Es la región comprendida entre la curva y el lado superior del rectángulo ($y=2$). Esta región solo existe entre $x=0$ y $x=2$, ya que en $x=2$ la curva sale del rectángulo por arriba. 2. **Recinto Inferior ($R_2$):** Es la región del rectángulo que queda por debajo de la curva (o debajo de $y=2$ cuando la curva ya ha salido). Es más sencillo calcular primero el área del recinto superior ($R_1$) mediante una integral definida. 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a,b]$ viene dada por $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.

El área $A_1$ del recinto superior está limitada superiormente por $y=2$ e inferiormente por $y=\frac{1}{2}x^2$ en el intervalo $x \in [0, 2]$: $$A_1 = \int_{0}^{2} \left( 2 - \frac{1}{2}x^2 \right) dx$$ Calculamos la integral inmediata: $$A_1 = \left[ 2x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ 2x - \frac{x^3}{6} \right]_{0}^{2}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A_1 = \left( 2(2) - \frac{2^3}{6} \right) - \left( 2(0) - \frac{0^3}{6} \right) = 4 - \frac{8}{6} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12-4}{3} = \frac{8}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado del primer recinto:** $$\boxed{A_1 = \frac{8}{3} \text{ u}^2 \approx 2,67 \text{ u}^2}$$

Para hallar el área del segundo recinto ($A_2$), podemos restar el área $A_1$ al área total del rectángulo $ABCD$. El área del rectángulo es: $$A_{total} = \text{base} \cdot \text{altura} = 4 \cdot 2 = 8 \text{ u}^2$$ Entonces: $$A_2 = A_{total} - A_1 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3} \text{ u}^2$$ *(Opcionalmente, se podría calcular como la suma de la integral $\int_0^2 \frac{1}{2}x^2 dx$ más el área del rectángulo restante desde $x=2$ hasta $x=4$, que es $2 \cdot 2 = 4$)*: $$A_2 = \left[ \frac{x^3}{6} \right]_0^2 + 4 = \frac{8}{6} + 4 = \frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado del segundo recinto:** $$\boxed{A_2 = \frac{16}{3} \text{ u}^2 \approx 5,33 \text{ u}^2}$$