Cálculo de parámetros y extremos relativos de una función polinómica

**a) Calcula A, B, y C sabiendo que su recta tangente en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, que además la función tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2 y que corta al eje OX en x = 1.** Primero, calculamos la derivada de la función $f(x) = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + 7$: $$f'(x) = 4x^3 + 3Ax^2 + 2Bx + C$$ Traducción matemática de las condiciones del enunciado: 1. **Recta tangente horizontal en $x = 0$**: La pendiente de la tangente es la derivada en ese punto, por tanto $f'(0) = 0$. 2. **Extremo relativo en $x = 2$**: En un extremo relativo de una función derivable, la primera derivada se anula: $f'(2) = 0$. 3. **Corte con el eje OX en $x = 1$**: Significa que el punto $(1, 0)$ pertenece a la gráfica: $f(1) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es horizontal, su pendiente es cero, y la pendiente de la recta tangente a $f(x)$ en $x=a$ viene dada por $f'(a)$.

Aplicamos las condiciones anteriores para obtener un sistema de ecuaciones: - De $f'(0) = 0$: $$4(0)^3 + 3A(0)^2 + 2B(0) + C = 0 \implies \mathbf{C = 0}$$ - De $f'(2) = 0$ (sustituyendo ya $C = 0$): $$4(2)^3 + 3A(2)^2 + 2B(2) = 0 \implies 32 + 12A + 4B = 0$$ Dividiendo entre 4 para simplificar: $3A + B = -8$ (Ecuación 1). - De $f(1) = 0$ (sustituyendo $C = 0$): $$1^4 + A(1)^3 + B(1)^2 + 0(1) + 7 = 0 \implies 1 + A + B + 7 = 0$$ $A + B = -8$ (Ecuación 2). Resolvemos el sistema formado por (1) y (2): $$\begin{cases} 3A + B = -8 \\ A + B = -8 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(3A + B) - (A + B) = -8 - (-8) \implies 2A = 0 \implies \mathbf{A = 0}$. Sustituimos $A = 0$ en la segunda ecuación: $0 + B = -8 \implies \mathbf{B = -8}$. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{A = 0, B = -8, C = 0}$$ La función es: $f(x) = x^4 - 8x^2 + 7$.

**b) Para los valores obtenidos calcula los máximos y los mínimos de la función.** Con los valores obtenidos, la función y su derivada son: $$f(x) = x^4 - 8x^2 + 7$$ $$f'(x) = 4x^3 - 16x$$ Para hallar los extremos relativos, buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$: $$4x^3 - 16x = 0 \implies 4x(x^2 - 4) = 0$$ Esto nos da tres soluciones: 1. $4x = 0 \implies x = 0$ 2. $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2$ y $x = -2$ Los puntos críticos son $x = -2$, $x = 0$ y $x = 2$. 💡 **Tip:** Los puntos críticos de una función polinómica son los candidatos a máximos y mínimos relativos.

Analizamos el signo de $f'(x) = 4x(x-2)(x+2)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos: $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ - En $(-\infty, -2)$: $f'(-3) = 4(-3)(-3-2)(-3+2) = -60 \lt 0$ (Decreciente). - En $(-2, 0)$: $f'(-1) = 4(-1)(-1-2)(-1+2) = 12 \gt 0$ (Creciente). - En $(0, 2)$: $f'(1) = 4(1)(1-2)(1+2) = -12 \lt 0$ (Decreciente). - En $(2, +\infty)$: $f'(3) = 4(3)(3-2)(3+2) = 60 \gt 0$ (Creciente).

Calculamos el valor de la función en cada punto crítico: - Para $x = 0$: $f(0) = 0^4 - 8(0)^2 + 7 = 7 \implies \text{Máximo en } (0, 7)$. - Para $x = 2$: $f(2) = 2^4 - 8(2)^2 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \implies \text{Mínimo en } (2, -9)$. - Para $x = -2$: $f(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \implies \text{Mínimo en } (-2, -9)$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Máximo relativo: } (0, 7), \text{ Mínimos relativos: } (-2, -9) \text{ y } (2, -9)}$$ Como es una función polinómica par (simétrica respecto al eje Y), tiene sentido que los mínimos tengan la misma ordenada en $x=2$ y $x=-2$.