Simétrico de un punto respecto a una recta

Para hallar el simétrico de un punto $M$ respecto a una recta $r$, primero necesitamos definir la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, -3, 4)$ y $B(0, -4, 1)$. Calculamos el vector director de la recta $\vec{v}_r$ a partir de los puntos dados: $$\vec{v}_r = \vec{BA} = A - B = (1 - 0, -3 - (-4), 4 - 1) = (1, 1, 3).$$ Usamos el punto $A(1, -3, 4)$ y el vector $\vec{v}_r$ para escribir las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -3 + \lambda \\ z = 4 + 3\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos $A$ y $B$ se obtiene restando sus coordenadas: $\vec{v} = \vec{AB} = B - A$ (o viceversa). $$\boxed{r: (x, y, z) = (1, -3, 4) + \lambda(1, 1, 3)}$$

Para encontrar la proyección de $M$ sobre la recta, trazamos un plano $\pi$ que sea perpendicular a la recta $r$ y que contenga al punto $M(1, -3, 7)$. Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de la recta $\vec{v}_r = (1, 1, 3)$ será el vector normal del plano $\vec{n}_\pi = (1, 1, 3)$. La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal: $$1x + 1y + 3z + D = 0.$$ Para hallar $D$, obligamos a que el plano pase por $M(1, -3, 7)$: $$1(1) + 1(-3) + 3(7) + D = 0 \implies 1 - 3 + 21 + D = 0 \implies 19 + D = 0 \implies D = -19.$$ La ecuación del plano es: $$\pi: x + y + 3z - 19 = 0.$$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a una recta utiliza el vector director de dicha recta como su propio vector normal. $$\boxed{\pi: x + y + 3z - 19 = 0}$$

El punto donde la recta $r$ corta al plano $\pi$ es el punto $Q$, que representa la proyección ortogonal de $M$ sobre $r$ y será el punto medio entre $M$ y su simétrico $M'$. Sustituimos las expresiones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$(1 + \lambda) + (-3 + \lambda) + 3(4 + 3\lambda) - 19 = 0$$ $$1 + \lambda - 3 + \lambda + 12 + 9\lambda - 19 = 0$$ $$11\lambda - 9 = 0 \implies \lambda = \frac{9}{11}.$$ Ahora, calculamos las coordenadas de $Q$ sustituyendo $\lambda = \frac{9}{11}$ en las ecuaciones de la recta: $$x_Q = 1 + \frac{9}{11} = \frac{11+9}{11} = \frac{20}{11}$$ $$y_Q = -3 + \frac{9}{11} = \frac{-33+9}{11} = -\frac{24}{11}$$ $$z_Q = 4 + 3\left(\frac{9}{11}\right) = 4 + \frac{27}{11} = \frac{44+27}{11} = \frac{71}{11}$$ $$\boxed{Q\left(\frac{20}{11}, -\frac{24}{11}, \frac{71}{11}\right)}$$

El punto $Q$ es el punto medio del segmento $MM'$, donde $M(1, -3, 7)$ y $M'(x', y', z')$. Usamos la fórmula del punto medio: $$Q = \frac{M + M'}{2} \implies M' = 2Q - M$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2\left(\frac{20}{11}\right) - 1 = \frac{40}{11} - \frac{11}{11} = \frac{29}{11}$$ $$y' = 2\left(-\frac{24}{11}\right) - (-3) = -\frac{48}{11} + \frac{33}{11} = -\frac{15}{11}$$ $$z' = 2\left(\frac{71}{11}\right) - 7 = \frac{142}{11} - \frac{77}{11} = \frac{65}{11}$$ El punto simétrico buscado es $M'\left(\frac{29}{11}, -\frac{15}{11}, \frac{65}{11}\right)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{M'\left(\frac{29}{11}, -\frac{15}{11}, \frac{65}{11}\right)}$$