Discusión de un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro

**Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro m. (NO es necesario resolverlo)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & m & 1 \\ 3 & 1 & -m \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & \vert & 1 \\ 1 & m & 1 & \vert & 2 \\ 3 & 1 & -m & \vert & 3 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, que relaciona el rango de estas matrices con el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus para hallar los valores críticos de $m$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & m & 1 \\ 3 & 1 & -m \end{vmatrix}$$ $$|A| = [2 \cdot m \cdot (-m) + 1 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)] - [(-1) \cdot m \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot (-m) + 2 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = (-2m^2 + 3 - 1) - (-3m - m + 2)$$ $$|A| = -2m^2 + 2 - (-4m + 2)$$ $$|A| = -2m^2 + 2 + 4m - 2 = -2m^2 + 4m$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que cambian el rango de $A$: $$-2m^2 + 4m = 0 \implies -2m(m - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: $$\boxed{m = 0} \quad \text{y} \quad \boxed{m = 2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es distinto de cero, el rango de la matriz es igual a su orden (en este caso, 3).

Si $m \neq 0$ y $m \neq 2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que el de $A$) - Número de incógnitas $= 3$ Según el Teorema de Rouché-Capelli, al ser los rangos iguales e iguales al número de incógnitas: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 0, 2: \text{ Sistema Compatible Determinado (SCD). Solución única.}}$$

Si $m = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & \vert & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \vert & 2 \\ 3 & 1 & 0 & \vert & 3 \end{pmatrix}$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando el menor formado por las columnas $C_1, C_2$ y $C_4$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (0 + 6 + 1) - (0 + 4 + 3) = 7 - 7 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 que incluyen la columna de términos independientes son cero (o se observa que $F_1 + F_2 = F_3$ en toda la matriz ampliada: $2+1=3, 1+0=1, -1+1=0, 1+2=3$), tenemos: $$\text{rango}(A^*) = 2$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0: \text{ Sistema Compatible Indeterminado (SCI). Infinitas soluciones.}}$$

Si $m = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & \vert & 1 \\ 1 & 2 & 1 & \vert & 2 \\ 3 & 1 & -2 & \vert & 3 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, luego $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando el menor formado por las columnas $C_1, C_2$ y $C_4$: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (12 + 6 + 1) - (6 + 4 + 3) = 19 - 13 = 6 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo dentro de la ampliada: $$\text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 2: \text{ Sistema Incompatible (SI). No tiene solución.}}$$