Intersección de funciones y cálculo de áreas

Para encontrar los puntos en que se cortan las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$, debemos resolver la ecuación $f(x) = g(x)$: $$\cos \frac{\pi x}{4} = \frac{x^2}{4} - 1$$ Observamos que ambas funciones son **funciones pares**, ya que $f(x) = f(-x)$ y $g(x) = g(-x)$. Esto implica que si un valor $x$ es solución, $-x$ también lo será. Probamos con valores sencillos para $x$ que anulen el coseno: - Si $x = 2$: $f(2) = \cos \frac{2\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ $g(2) = \frac{2^2}{4} - 1 = 1 - 1 = 0$ Como $f(2) = g(2) = 0$, el punto **$(2, 0)$** es un punto de corte. - Si $x = -2$: Debido a la simetría par, $f(-2) = 0$ y $g(-2) = 0$, por lo que el punto **$(-2, 0)$** es el otro punto de corte. 💡 **Tip:** En ecuaciones donde se mezclan funciones trigonométricas y polinómicas, suele buscarse la solución mediante inspección de valores notables o propiedades de simetría. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{P_1(-2, 0) \text{ y } P_2(2, 0)}$$

El área de la región encerrada entre dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en un intervalo $[a, b]$ se calcula mediante la integral definida del valor absoluto de su diferencia: $$Area = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$$ En el intervalo $(-2, 2)$, comprobamos cuál de las dos funciones queda por encima evaluando en un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = \cos(0) = 1$ - $g(0) = \frac{0^2}{4} - 1 = -1$ Como $f(0) \gt g(0)$, la función coseno está por encima de la parábola en el intervalo de integración. Por tanto: $$Area = \int_{-2}^{2} \left( \cos \frac{\pi x}{4} - \left( \frac{x^2}{4} - 1 \right) \right) dx$$ 💡 **Tip:** Aprovechando de nuevo la **simetría par** de ambas funciones respecto al eje $Y$, podemos simplificar el cálculo integrando de $0$ a $2$ y multiplicando por $2$: $$Area = 2 \int_{0}^{2} \left( \cos \frac{\pi x}{4} - \frac{x^2}{4} + 1 \right) dx$$

Calculamos la integral indefinida (primitiva) término a término: 1. $\int \cos \frac{\pi x}{4} \, dx$: Usamos la regla $\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax)$. Aquí $a = \frac{\pi}{4}$, por lo que su inversa es $\frac{4}{\pi}$: $$\int \cos \frac{\pi x}{4} \, dx = \frac{4}{\pi} \sin \frac{\pi x}{4}$$ 2. $\int \left( -\frac{x^2}{4} + 1 \right) dx$: $$\int -\frac{x^2}{4} \, dx = -\frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{x^3}{12}$$ $$\int 1 \, dx = x$$ La primitiva completa es: $$F(x) = \frac{4}{\pi} \sin \frac{\pi x}{4} - \frac{x^3}{12} + x$$

Aplicamos la Regla de Barrow para resolver la integral definida entre $0$ y $2$: $$Area = 2 \cdot \left[ \frac{4}{\pi} \sin \frac{\pi x}{4} - \frac{x^3}{12} + x \right]_{0}^{2}$$ Calculamos los valores en los límites: - En $x = 2$: $F(2) = \frac{4}{\pi} \sin \frac{2\pi}{4} - \frac{2^3}{12} + 2 = \frac{4}{\pi} \sin \frac{\pi}{2} - \frac{8}{12} + 2 = \frac{4}{\pi}(1) - \frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{\pi} + \frac{4}{3}$ - En $x = 0$: $F(0) = \frac{4}{\pi} \sin(0) - 0 + 0 = 0$ Sustituimos en la expresión del área: $$Area = 2 \cdot \left( \left( \frac{4}{\pi} + \frac{4}{3} \right) - 0 \right) = \frac{8}{\pi} + \frac{8}{3} \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow se enuncia como $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$. ✅ **Resultado (Área final):** $$\boxed{Area = \frac{8}{\pi} + \frac{8}{3} \approx 5.21 \text{ u}^2}$$