Extremos absolutos en un intervalo cerrado

**B3) Encuentra los extremos absolutos de la función $f(x) = (x^2 - 3) e^{-x+2}$ en el intervalo $[-2, 4]$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso. (2 puntos)** Para resolver este problema, utilizaremos el **Teorema de Weierstrass**. Este teorema establece que si una función es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces dicha función alcanza obligatoriamente un máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo. Justificación de su uso: 1. La función $f(x) = (x^2 - 3) e^{-x+2}$ es el producto de una función polinómica y una función exponencial, ambas continuas en toda la recta real $\mathbb{R}$. 2. Por tanto, $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[-2, 4]$. Los candidatos a extremos absolutos son: - Los puntos críticos dentro del intervalo (donde $f'(x) = 0$). - Los extremos del intervalo ($x = -2$ y $x = 4$). 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Weierstrass garantiza la existencia, pero para encontrarlos debemos comparar los valores de la función en los puntos críticos y en los bordes del intervalo.

Calculamos la derivada de $f(x) = (x^2 - 3) e^{-x+2}$ usando la regla del producto y la regla de la cadena: $$f'(x) = (2x) \cdot e^{-x+2} + (x^2 - 3) \cdot e^{-x+2} \cdot (-1)$$ Factorizamos el término común $e^{-x+2}$: $$f'(x) = e^{-x+2} \left[ 2x - (x^2 - 3) \right]$$ $$f'(x) = e^{-x+2} (-x^2 + 2x + 3)$$ 💡 **Tip:** Al derivar exponenciales del tipo $e^{u(x)}$, no olvides multiplicar por $u'(x)$. En este caso, la derivada de $-x+2$ es $-1$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$e^{-x+2} (-x^2 + 2x + 3) = 0$$ Como la función exponencial nunca es cero ($e^{-x+2} \gt 0$), la igualdad depende del polinomio: $$-x^2 + 2x + 3 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{6}{2} = 3$ - $x_2 = \frac{-2}{2} = -1$ Ambos puntos, $x = -1$ y $x = 3$, pertenecen al intervalo $[-2, 4]$. $$\boxed{x = -1, \quad x = 3}$$

Para comprender mejor el comportamiento de la función, analizamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo dado. El signo depende únicamente de $(-x^2 + 2x + 3)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & [-2, -1) & -1 & (-1, 3) & 3 & (3, 4] \\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ f(x) & \searrow & \text{Mín. rel.} & \nearrow & \text{Máx. rel.} & \searrow \end{array}$$ - En $[-2, -1)$, $f'(x) \lt 0$, la función decrece. - En $(-1, 3)$, $f'(x) \gt 0$, la función crece. - En $(3, 4]$, $f'(x) \lt 0$, la función decrece.

Evaluamos la función original $f(x) = (x^2 - 3) e^{-x+2}$ en los extremos del intervalo y en los puntos críticos: 1. **Extremo izquierdo:** $f(-2) = ((-2)^2 - 3) e^{-(-2)+2} = (4-3)e^4 = e^4 \approx 54.60$ 2. **Punto crítico:** $f(-1) = ((-1)^2 - 3) e^{-(-1)+2} = (1-3)e^3 = -2e^3 \approx -40.17$ 3. **Punto crítico:** $f(3) = (3^2 - 3) e^{-3+2} = (9-3)e^{-1} = 6e^{-1} = \frac{6}{e} \approx 2.21$ 4. **Extremo derecho:** $f(4) = (4^2 - 3) e^{-4+2} = (16-3)e^{-2} = 13e^{-2} = \frac{13}{e^2} \approx 1.76$ Comparando los valores obtenidos: - El valor más alto es $e^4$. - El valor más bajo es $-2e^3$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo absoluto en } (-2, e^4)}$$ $$\boxed{\text{Mínimo absoluto en } (-1, -2e^3)}$$