Recta que pasa por un punto y corta a otras dos rectas

**Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P \equiv (-4, 2, 0)$ y corta a las rectas $r_1$ y $r_2$.** Para hallar la recta $s$ que buscamos, utilizaremos el método de la intersección de dos planos: 1. Calcularemos un plano $\pi_1$ que contenga al punto $P$ y a la recta $r_1$. 2. Calcularemos un plano $\pi_2$ que contenga al punto $P$ y a la recta $r_2$. 3. La recta buscada $s$ será la intersección de estos dos planos ($s = \pi_1 \cap \pi_2$). 💡 **Tip:** Si una recta $s$ corta a $r_1$ y pasa por $P$, necesariamente $s$ debe estar contenida en el plano determinado por $P$ y $r_1$. Lo mismo ocurre con $r_2$.

La recta $r_1$ viene dada como intersección de dos planos. Necesitamos un punto $A_1$ y un vector director $\vec{v_1}$. $$ r_1 \equiv \begin{cases} 2x + 3y + z - 1 = 0 \\ x + 2y - 3 = 0 \end{cases} $$ Resolvemos el sistema en función de un parámetro. De la segunda ecuación: $x = 3 - 2y$. Si hacemos $y = \lambda$: - $x = 3 - 2\lambda$ - Sustituimos en la primera: $2(3 - 2\lambda) + 3\lambda + z - 1 = 0 \Rightarrow 6 - 4\lambda + 3\lambda + z - 1 = 0 \Rightarrow z = \lambda - 5$. Por tanto, un punto y el vector director de $r_1$ son: $$A_1 = (3, 0, -5), \quad \vec{v_1} = (-2, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** También puedes obtener el vector director de una recta en implícitas calculando el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen.

El plano $\pi_1$ está determinado por el punto $P(-4, 2, 0)$ y los vectores $\vec{v_1} = (-2, 1, 1)$ y $\vec{PA_1}$. Calculamos $\vec{PA_1} = A_1 - P = (3 - (-4), 0 - 2, -5 - 0) = (7, -2, -5)$. La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante: $$\pi_1 \equiv \begin{vmatrix} x+4 & y-2 & z \\ -2 & 1 & 1 \\ 7 & -2 & -5 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(x+4)(-5 - (-2)) - (y-2)(10 - 7) + z(4 - 7) = 0$$ $$-3(x+4) - 3(y-2) - 3z = 0$$ $$-3x - 12 - 3y + 6 - 3z = 0 \Rightarrow -3x - 3y - 3z - 6 = 0$$ Simplificando (dividiendo entre $-3$): $$\pi_1 \equiv x + y + z + 2 = 0$$

De la recta $r_2 \equiv \frac{x+1}{-2} = \frac{y+3}{3} = \frac{z+2}{3}$ extraemos: $$A_2 = (-1, -3, -2), \quad \vec{v_2} = (-2, 3, 3)$$ El plano $\pi_2$ está determinado por $P(-4, 2, 0)$, $\vec{v_2} = (-2, 3, 3)$ y $\vec{PA_2} = A_2 - P = (3, -5, -2)$. $$\pi_2 \equiv \begin{vmatrix} x+4 & y-2 & z \\ -2 & 3 & 3 \\ 3 & -5 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos: $$(x+4)(-6 - (-15)) - (y-2)(4 - 9) + z(10 - 9) = 0$$ $$9(x+4) + 5(y-2) + z = 0$$ $$9x + 36 + 5y - 10 + z = 0$$ $$\pi_2 \equiv 9x + 5y + z + 26 = 0$$

La recta $s$ es la intersección de $\pi_1$ y $\pi_2$: $$ s \equiv \begin{cases} x + y + z + 2 = 0 \\ 9x + 5y + z + 26 = 0 \end{cases} $$ El vector director $\vec{v_s}$ se obtiene con el producto vectorial de los normales $\vec{n_1}=(1, 1, 1)$ y $\vec{n_2}=(9, 5, 1)$: $$\vec{v_s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 9 & 5 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_s} = \vec{i}(1 - 5) - \vec{j}(1 - 9) + \vec{k}(5 - 9) = -4\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k}$$ El vector es $(-4, 8, -4)$. Podemos simplificarlo dividiendo entre $-4$ para obtener un vector director más sencillo: $$\vec{v_s} = (1, -2, 1)$$

Ya tenemos el punto $P(-4, 2, 0)$ y el vector director $\vec{v_s} = (1, -2, 1)$. La ecuación continua de la recta es: $$ \frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z} $$ Sustituyendo los valores: $$ \frac{x - (-4)}{1} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z - 0}{1} $$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{x+4}{1} = \frac{y-2}{-2} = z}$$